1.(教材 P38T2)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB 是一个任意角,在边 OA,OB 上分别取 OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点 M,N 重合,过角尺顶点 P 的射线 OP 便是∠AOB 的平分线,请说明理由.

解:在$△ OMP$ 和$△ ONP$ 中,$\begin{cases} OM=ON,\\ MP=NP,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ OMP≌△ ONP(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ MOP=∠ NOP,$即 $OP$ 平分$∠ AOB.$

【分析】
要说明OP是∠AOB的平分线，本质是证明∠MOP=∠NOP，我们可以通过证明这两个角所在的△OMP和△ONP全等来推导角相等。首先从题目条件中可得已知边OM=ON，角尺两边相同刻度分别对应M、N，因此MP=NP，再加上两个三角形共有的公共边OP=OP，满足三边对应相等的全等判定条件，即可证明两个三角形全等，再由全等三角形的性质得到对应角相等，就能完成证明。
【解析】
在$△ OMP$和$△ ONP$中,
$\begin{cases} OM=ON,\\ MP=NP,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ OMP≌△ ONP(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠MOP=∠NOP,$即$OP$平分$∠AOB.$
【答案】
在$△ OMP$和$△ ONP$中,$\begin{cases} OM=ON,\\ MP=NP,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ OMP≌△ ONP(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ MOP=∠ NOP,$即 $OP$ 平分$∠ AOB.$
【知识点】
SSS证全等、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合实际操作考查三角形全等的判定与性质，解题时要注意从实际场景中提取几何等量关系，不要忽略公共边这类隐含的相等条件，通过证全等得到角相等是解决这类问题的常用思路。
【难度系数】
0.8

2.(教材P37例3变式)如图,在$△ ABC$中,点E在CA的延长线上,点M在AB上,$AM=AC$,$AB=AE$,$BC=EM$.
(1)求证:$AB⊥ CE$;
(2)求证:$EM⊥ BC$.

证明:(1)在$△ CAB$ 和$△ MAE$ 中,$\begin{cases} CA=MA,\\ CB=ME,\\ AB=AE, \end{cases}$
$\therefore △ CAB≌△ MAE(\mathrm{SSS}),∠ CAB=∠ MAE,$
又$\because ∠ CAB+∠ MAE=180°,$
$\therefore ∠ CAB=90°,\therefore AB⊥ CE;$
(2)延长 $EM$ 交 $BC$ 于 $D$ 点,
$\because △ CAB≌△ MAE,\therefore ∠ B=∠ E,$
$\therefore ∠ BDM=∠ BAE=90°,\therefore ME⊥ BC.$

【分析】
(1) 要证$AB⊥CE$，本质是证$∠CAB=90°$。题目给出了三组对应边相等，可先通过SSS判定$△ CAB≌△ MAE$，得到$∠CAB=∠MAE$，再结合这两个角是邻补角，和为$180°$，即可推出$∠CAB=90°$，完成垂直的证明。
(2) 要证$EM⊥BC$，可延长$EM$交$BC$于点$D$，只需证$∠BDM=90°$。借助(1)的全等结论可得对应角$∠B=∠E$，结合三角形内角和的性质可推出$∠BDM$和直角$∠BAE$相等，即可得证垂直。
【解析】
(1) 在$△ CAB$ 和$△ MAE$ 中:
$\begin{cases} CA=MA,\\ CB=ME,\\ AB=AE, \end{cases}$
$\therefore △ CAB≌△ MAE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠CAB=∠MAE$,
又$\because ∠CAB+∠MAE=180°$,
$\therefore ∠CAB=90°$，即$AB⊥ CE$。
(2) 延长 $EM$ 交 $BC$ 于 $D$ 点,
$\because △ CAB≌△ MAE$,
$\therefore ∠B=∠E$,
在$△ BDM$和$△ EAM$中，$∠ B+∠ BMD+∠ BDM=∠ E+∠ EMA+∠ EAM=180°$，且$∠ BMD=∠ EMA$，
$\therefore ∠BDM=∠EAM=90°$,
即$ME⊥ BC$。
【答案】
(1) 证明：在$△ CAB$ 和$△ MAE$ 中,$\begin{cases} CA=MA,\\ CB=ME,\\ AB=AE, \end{cases}$
$\therefore △ CAB≌△ MAE(\mathrm{SSS}),∠CAB=∠MAE,$
又$\because ∠CAB+∠MAE=180°,$
$\therefore ∠CAB=90°,\therefore AB⊥ CE;$
(2) 证明：延长 $EM$ 交 $BC$ 于 $D$ 点,
$\because △ CAB≌△ MAE,\therefore ∠B=∠E,$
$\therefore ∠BDM=∠BAE=90°,\therefore ME⊥ BC.$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用类题目，解题关键是先利用已知的边相等关系证明三角形全等，再通过全等转化角的等量关系，进而推导垂直结论，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，学会利用全等实现边角关系的转化。
【难度系数】
0.7

3.(教材P46T18变式)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上,求证:BE=CE.

证明:在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AD=AD,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE,$
在$△ ABE$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SAS}),\therefore BE=CE.$

【分析】
要证明BE=CE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。观察图形可知BE、CE分别在△ABE和△ACE中，已知AB=AC，AE是两个三角形的公共边，还缺少夹角相等的条件。我们可先利用AB=AC、D是BC中点（即BD=CD），结合公共边AD，用SSS判定△ABD≌△ACD，从而得到∠BAE=∠CAE，即可进一步证明△ABE和△ACE全等，推导出对应边相等。
【解析】
证明：在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ AD=AD,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE,$
在$△ ABE$ 和$△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE=CE.$
【答案】
$BE=CE$
【知识点】
SSS判定全等、SAS判定全等、全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题的关键是先利用已知条件推导得出全等所需的隐含角相等的条件，通过两次三角形全等的判定即可得到对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85

4.如图，点E，F在BD上，AE=CF，AF=CE，CD//AB，求证：DF=BE.

证明:在$△ AEF$ 和$△ CFE$ 中,$\begin{cases} AE=CF,\\ AF=CE,\\ EF=FE, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CFE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ CFE=∠ AEF,$
$\because CD// AB,\therefore ∠ B=∠ D,$
在$△ ABE$ 和$△ CDF$ 中,$\begin{cases} ∠ B=∠ D,\\ ∠ AEB=∠ CFD,\\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore BE=DF.$

【分析】
要证明DF=BE，通常可通过证明包含这两条线段的三角形全等，即证△ABE≌△CDF。首先梳理已知条件：已知AE=CF，由CD//AB可推出∠B=∠D，还缺少一组对应角相等的条件。观察已知的AE=CF、AF=CE，结合公共边EF，可先通过SSS判定△AEF≌△CFE，得到∠AEF=∠CFE，进而推出二者的补角∠AEB=∠CFD，即可满足△ABE和△CDF全等的AAS判定条件，最终得到对应边BE=DF。
【解析】
证明:在$△ AEF$ 和$△ CFE$ 中,
$\begin{cases} AE=CF,\\ AF=CE,\\ EF=FE, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CFE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ CFE=∠ AEF$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ B=∠ D$，
$\because ∠AEB=180°-∠AEF$，$∠CFD=180°-∠CFE$，
$\therefore ∠AEB=∠CFD$，
在$△ ABE$ 和$△ CDF$ 中,
$\begin{cases} ∠ B=∠ D,\\ ∠ AEB=∠ CFD,\\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=DF$。
【答案】
$DF=BE$
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行线的性质
3. 补角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时需先明确目标，通过证明中间三角形全等得到缺失的等角条件，结合平行线的性质即可完成证明，要注意挖掘公共边、等角的补角相等等隐含条件。
【难度系数】
0.6

5.在如图所示的$3×3$的网格中,与$△ ABC$有一条公共边且全等(不含$△ ABC$)的所有格点三角形的个数是()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

【分析】
解题时我们可以按照分类讨论的思路来思考：首先明确全等三角形的SSS判定规则，格点三角形的边长可通过网格计算得到，三条边对应相等的三角形全等；接下来依次将△ABC的三条边作为公共边，分别找出每条公共边对应的符合全等条件的格点三角形；最后统计总数，注意排除原△ABC本身，避免重复计数。
【解析】
我们按公共边的不同分类计数：
1. 以BC为公共边：原△ABC的顶点A在BC的下方，在BC上方的格点中，可找到2个格点，其与B、C连接后得到的三角形三边与△ABC三边对应相等，即与△ABC全等；
2. 以AC为公共边：在AC远离点B的一侧，可找到1个格点，其与A、C连接后得到的三角形与△ABC全等；
3. 以AB为公共边：在AB远离点C的一侧，可找到1个格点，其与A、B连接后得到的三角形与△ABC全等。
综上，符合条件的三角形总个数为2+1+1=4个。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的SSS判定，分类讨论计数
【点评】
本题考查全等三角形的判定和有序计数的能力，解题时按照公共边分类逐一排查，能有效避免漏数或多数，要注意题目要求不含原三角形本身。
【难度系数】
0.6