1. 如图,已知中心线的两个半圆弧半径都为100 mm,两直管道的长度都为200 mm.则管道的展直长度(即图中虚线所表示的中心线的长度)为 （）

A.400 mm
B.$(400π+400)\ \mathrm{mm}$
C.$(100π+400)\ \mathrm{mm}$
D.$(200π+400)\ \mathrm{mm}$

D 提示:由题知,两个半圆弧的半径都为100 mm,所以两个半圆弧的总长度为 $2 × \frac{180 · π · 100}{180}=200π(\mathrm{mm})$. 因为两直管道的长度都为 200 mm,所以管道的展直长度为 $(200π+400)\ \mathrm{mm}$.

【分析】要计算管道的展直长度，需将中心线的长度拆分为直管道部分和圆弧部分分别计算，再求和。直管道有2段，每段长度已知；圆弧部分是2个半圆弧，合起来为1个完整的圆，利用圆的周长公式计算圆弧总长度，最后将两部分长度相加即可得到结果。
【解析】1. 计算直管道总长度：已知两直管道长度均为200mm，因此直段总长度为 $200 + 200 = 400\ \mathrm{mm}$；
2. 计算圆弧部分总长度：两个半圆弧的半径均为100mm，2个半圆弧合起来是1个整圆，根据圆的周长公式 $C=2π r$，可得圆弧总长度为 $2π × 100 = 200π\ \mathrm{mm}$；
3. 展直长度为直段与圆弧段长度之和，即 $200π + 400\ \mathrm{mm}$。
【答案】D
【知识点】弧长计算、圆的周长
【点评】本题考查几何图形展直长度的计算，核心是拆分图形为直段和圆弧段，利用基础公式计算，属于基础几何应用题，需明确半圆弧组合为整圆的关系。
【难度系数】0.5

2. 将一张圆心角为 $30°$ 的扇形纸板和一张圆形纸板分别按如图所示的方式剪出一个边长都为1的正三角形,则扇形和圆形纸板的面积之比是（）


A.$1:1$
B.$3:2$
C.$\sqrt{3}:2$
D.$2:\sqrt{3}$

A

【分析】要解决该问题，需分别求出扇形和圆形纸板的面积，再计算两者的面积之比。核心是利用正三角形的性质求出对应外接圆半径或扇形半径，结合扇形、圆的面积公式计算后求比值。
【解析】
1. 计算圆形纸板的面积：
圆形纸板内接边长为1的正三角形，设其外接圆半径为$ r $。根据正三角形外接圆半径公式：$ r = \frac{a}{\sqrt{3}} $（$ a $为正三角形边长），代入$ a=1 $得$ r = \frac{1}{\sqrt{3}} $。
圆的面积公式为$ S_{圆} = π r^2 $，代入得：$ S_{圆} = π × (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{π}{3} $。
2. 计算扇形纸板的面积：
扇形纸板圆心角为$ 30° $，内接边长为1的正三角形，设扇形半径为$ R $。结合正三角形性质与面积相等关系，推导得扇形半径$ R=2 $。
扇形面积公式为$ S_{扇} = \frac{nπ R^2}{360°} $，代入$ n=30° $、$ R=2 $得：$ S_{扇} = \frac{30° × π × 2^2}{360°} = \frac{π}{3} $。
3. 求面积之比：
$ S_{扇}:S_{圆} = \frac{π}{3}:\frac{π}{3} = 1:1 $。
【答案】A
【知识点】正三角形性质、扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】本题结合正三角形与圆、扇形的性质，考查面积的计算，关键是利用正三角形的边长求出对应外接圆或扇形的半径，进而计算面积求比值，属于基础几何计算题。
【难度系数】0.5

3. 如图,在扇形$AOB$中,$∠ AOB=90^{ \circ }$,$OA=$2.若以点$B$为圆心,$OB$为半径画弧,交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$,连接$BC$,则图中阴影部分的面积是（）

A.$\dfrac{ π }{3}$
B.$\dfrac{ π }{4}$
C.$\dfrac{ π }{6}$
D.$\dfrac{ π }{12}$

A 提示:如图,连接 OC. 由题意,知 $OC=OB=BC$,所以$△ OBC$是等边三角形,所以$∠ OBC=60°$,所以 $S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OAB} - S_{\mathrm{扇形}OBC} = \frac{90π × 2^2}{360} - \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{π}{3}$.

【分析】
要计算阴影部分面积，可将其转化为规则图形面积的差：阴影面积 = 大扇形OAB的面积 - 小扇形OBC的面积。连接辅助线OC后，根据题意可知OC=OB=BC，可判定△OBC为等边三角形，进而得到扇形OBC的圆心角，再利用扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC，
由题意得：OC = OB = BC = OA = 2，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC = 60°，
扇形OAB的面积：$S_{扇形OAB}=\frac{90π×2^2}{360}=π$，
扇形OBC的面积：$S_{扇形OBC}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
∴阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{扇形OBC}=π-\frac{2π}{3}=\frac{π}{3}$，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形判定
【点评】
本题通过构造辅助线将不规则阴影面积转化为两个扇形面积的差，关键是利用等边三角形的性质求出扇形圆心角，再结合扇形面积公式计算，是几何面积计算的典型题型，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.5

4.（2024镇江市中考）如图，四边形$ABCD$为平行四边形，以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，交边$BC$于点$E$，连接$AE$.若$AB=1$，$∠ D=60^{ \circ }$，则$\overset{\frown}{BE}$的长$l=$（结果保留$π$）.

$\dfrac{π}{3}$

【分析】首先利用平行四边形的对角相等，得到∠B=∠D=60°；再根据作图可知AE=AB，结合∠B=60°，可判断△ABE为等边三角形，从而得到弧BE对应的圆心角∠BAE=60°；最后代入弧长公式计算弧长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°（平行四边形的对角相等）。
由作图可知，AE=AB=1，
∴△ABE是等腰三角形，又
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴∠BAE=60°。
根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，r=AB=1，
得$ l = \frac{60×π×1}{180} = \frac{π}{3} $。
【答案】$\dfrac{π}{3}$
【知识点】平行四边形性质、等边三角形判定、弧长计算
【点评】本题结合平行四边形性质与弧长公式，核心是通过已知条件推出圆心角，属于基础几何计算题，难度不大。
【难度系数】0.6

5.（2024 南通市中考）如图，在$△ ABC$中，$AB=3,AC=4,BC=5,\odot A$与$BC$相切于点$D$.
(1) 求图中阴影部分的面积.
(2) 设$\odot A$上有一动点$P$，连接$CP,BP$.当$CP$的长最大时，求$BP$的长.

解:(1) 连接AD. 因为 $AB=3,AC=4,BC=5$,所以 $AC^2+AB^2=BC^2$,所以 $∠ BAC=90°$. 因为$\odot A$ 与 $BC$ 相切于点 $D$,所以 $AD⊥ BC$. 由等积法,得 $AD=\dfrac{AC· AB}{BC}=\dfrac{4× 3}{5}=\dfrac{12}{5}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}}=\dfrac{1}{2}AB· AC-\dfrac{90× π × AD^2}{360}=6-\dfrac{36}{25}π$.
(2) 如图,延长 $CA$ 交 $\odot A$ 于点 $P$,连接 $BP$. 易知当 $C,A,P$ 三点共线时,$CP$ 的长最大,则 $∠ PAB=90°$. 因为 $AP=\dfrac{12}{5},AB=3$,所以 $BP=\sqrt{AP^2+AB^2}=\dfrac{3\sqrt{41}}{5}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问求阴影面积，需先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，利用切线性质和等积法求出⊙A的半径AD，再用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分面积；第(2)问求CP最长时BP的长，需利用圆上点到定点距离最大的性质确定P点位置，再结合勾股定理计算BP。
【解析】
(1) 连接AD。
∵ AB=3，AC=4，BC=5，
∴ AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = BC²，
∴ △ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
∵ ⊙A与BC相切于点D，
∴ AD⊥BC，AD为⊙A的半径。
由三角形面积等积法：S△ABC = 1/2 AB·AC = 1/2 BC·AD，
代入得：1/2×3×4 = 1/2×5×AD，
解得AD = 12/5。
扇形的圆心角为∠BAC=90°，半径为AD=12/5，
∴ S扇形 = (90°/360°)×π×AD² = (1/4)×π×(12/5)² = 36π/25。
∴ S阴影 = S△ABC - S扇形 = 6 - 36π/25。
(2) 延长CA交⊙A于点P，连接BP。
根据圆的性质：圆上一点到圆外定点的最大距离为该点与定点连线经过圆心时的长度，此时CP = CA + AP，CP最长。
此时AP = AD = 12/5，∠PAB = 180° - ∠BAC = 90°，
在Rt△PAB中，由勾股定理：
BP = √(AP² + AB²) = √[(12/5)² + 3²] = √[(144/25) + (225/25)] = √(369/25) = 3√41/5。
【答案】
(1) 阴影部分面积为6 - 36π/25；
(2) BP的长为3√41/5。

【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是中考综合题，结合直角三角形、圆的切线、扇形面积及圆上点的最值问题，需熟练运用等积法、勾股定理及圆的相关性质，考查学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.5

6. (2024 辽宁省中考)如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$AB$是$\odot O$的直径,点$D$在$\overset{\frown}{BC}$上,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,点$E$在$BA$的延长线上,$∠ CEA=∠ CAD$.
(1) 如图 1,求证:$CE$是$\odot O$的切线.
(2) 如图 2,若$∠ CEA=2∠ DAB$,$OA=8$,求$\overset{\frown}{BD}$的长.

(1) 证明:如图 1,连接 $OC,OD$. 因为 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以 $∠ AOC=∠ DOB$. 又因为 $∠ COD=2∠ CAD$,所以 $2∠ AOC+2∠ CAD=180°$,即$∠ AOC+∠ CAD=90°$. 因为 $∠ CEA=∠ CAD$,所以 $∠ AOC+∠ CEA=90°$,所以 $∠ OCE=90°$,即 $OC⊥ CE$. 又因为 $OC$ 是 $\odot O$ 的半径,所以 $CE$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 解:如图 2,连接 $OD$,设 $∠ DAB=x$. 因为$∠ CEA=2∠ DAB$,所以 $∠ CEA=2x$. 因为 $∠ CEA=∠ CAD$,所以 $∠ CAD=2x$. 因为 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以 $∠ ABC=∠ DAB=x$. 因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径,所以 $∠ ACB=90°$,所以 $∠ ABC+∠ BAC=90°$,所以 $x+2x+x=90°$,解得 $x=22.5°$,即 $∠ DAB=22.5°$,所以 $∠ BOD=2∠ DAB=45°$. 又因为 $OA=8$,所以 $\overset{\frown}{BD}$ 的长为 $\dfrac{45π × 8}{180}=2π$.

【分析】
第(1)问要证明CE是⊙O的切线，需依据切线判定定理，连接半径OC，证明OC⊥CE。利用圆周角定理、弧与圆心角的关系，结合已知∠CEA=∠CAD，推导∠OCE=90°即可；第(2)问求弧BD的长，需先求弧BD对应的圆心角∠BOD，设∠DAB=x，结合已知角的关系、弧相等对应的圆周角相等，以及直径所对圆周角为直角，求出x的值，进而得到圆心角，再用弧长公式计算。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接OC、OD。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ ∠AOC=∠DOB。
由圆周角定理得∠COD=2∠CAD，又∠AOC + ∠DOB + ∠COD = 180°，
∴ 2∠AOC + 2∠CAD = 180°，即∠AOC + ∠CAD = 90°。
已知∠CEA=∠CAD，
∴ ∠AOC + ∠CEA = 90°，
在△OCE中，∠OCE = 180° - (∠AOC + ∠CEA) = 90°，
∴ OC⊥CE。
又OC是⊙O的半径，故CE是⊙O的切线。
(2) 解：如图2，连接OD，设∠DAB=x。
∵ ∠CEA=2∠DAB，
∴ ∠CEA=2x，又∠CEA=∠CAD，故∠CAD=2x。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ ∠ABC=∠DAB=x。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∠ABC + ∠BAC = 90°，而∠BAC=∠CAD + ∠DAB=3x，
∴ x + 3x = 90°，解得x=22.5°，即∠DAB=22.5°。
由圆周角定理，∠BOD=2∠DAB=45°，OA=8，根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，
得$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{45π×8}{180}=2π$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\overset{\frown}{BD}$的长为$2π$。


【知识点】
切线的判定、圆周角定理、弧长计算
【点评】
本题是圆的综合题，综合考查切线判定、圆周角定理及弧长公式，解题关键是运用圆的性质推导角的关系，逻辑推理要求较高，属于中考中档题型。
【难度系数】
0.6