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1.（防城港中考）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为$S_1$，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为$S_2$，则$\dfrac{S_1}{S_2}=$（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$1$
B
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$1$
答案
1.B 解析:
∵正八边形的内角和为(8-2)×180°=6×180°=1 080°,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)对应的圆心角的和为360°×8-1 080°=2 880°-1 080°=1 800°,
∴$\dfrac{S_1}{S_2}$=$\dfrac{1\ 080°}{1\ 800°}$=$\dfrac{3}{5}$.故选B.
∵正八边形的内角和为(8-2)×180°=6×180°=1 080°,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)对应的圆心角的和为360°×8-1 080°=2 880°-1 080°=1 800°,
∴$\dfrac{S_1}{S_2}$=$\dfrac{1\ 080°}{1\ 800°}$=$\dfrac{3}{5}$.故选B.
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用“等圆的扇形面积和之比等于对应圆心角之和的比”这一性质。首先明确：正八边形内侧八个扇形的圆心角之和等于正八边形的内角和；外侧八个扇形的圆心角之和可通过八个周角的总和减去正八边形内角和得到，最后计算两者的比值即可。
【解析】
因为八个圆是等圆，半径相等，因此扇形面积和的比值等于对应圆心角之和的比值：
1. 计算正八边形内角和：根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正八边形（$n=8$）的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，即内侧扇形的圆心角总和为$1080°$，对应面积$S_1$。
2. 计算外侧扇形的圆心角总和：每个圆的周角为$360°$，八个圆的总圆心角为$8×360°=2880°$，减去内侧扇形的圆心角总和，得到外侧扇形的圆心角总和为$2880°-1080°=1800°$，对应面积$S_2$。
3. 求比值：$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{内侧圆心角总和}{外侧圆心角总和}=\dfrac{1080°}{1800°}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和、扇形面积计算、圆心角
【点评】
本题结合正多边形内角和与扇形面积的性质，考查学生对图形角度关系的分析能力，核心是利用等圆半径相等时扇形面积比等于圆心角比的规律，解题思路清晰，需准确掌握多边形内角和公式。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心是利用“等圆的扇形面积和之比等于对应圆心角之和的比”这一性质。首先明确：正八边形内侧八个扇形的圆心角之和等于正八边形的内角和；外侧八个扇形的圆心角之和可通过八个周角的总和减去正八边形内角和得到，最后计算两者的比值即可。
【解析】
因为八个圆是等圆，半径相等，因此扇形面积和的比值等于对应圆心角之和的比值：
1. 计算正八边形内角和：根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正八边形（$n=8$）的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，即内侧扇形的圆心角总和为$1080°$，对应面积$S_1$。
2. 计算外侧扇形的圆心角总和：每个圆的周角为$360°$，八个圆的总圆心角为$8×360°=2880°$，减去内侧扇形的圆心角总和，得到外侧扇形的圆心角总和为$2880°-1080°=1800°$，对应面积$S_2$。
3. 求比值：$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{内侧圆心角总和}{外侧圆心角总和}=\dfrac{1080°}{1800°}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和、扇形面积计算、圆心角
【点评】
本题结合正多边形内角和与扇形面积的性质，考查学生对图形角度关系的分析能力，核心是利用等圆半径相等时扇形面积比等于圆心角比的规律，解题思路清晰，需准确掌握多边形内角和公式。
【难度系数】
0.5
2. (1)如图①,小正方形构成的网格中,半径为1的$\odot O$过其中四个格点,则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为
(2)(青海中考)如图②,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是
$\dfrac{π}{4}$
.(结果保留$π$)(2)(青海中考)如图②,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是
$\dfrac{3π}{8}$
.(结果保留$π$)答案
2.(1)$\dfrac{π}{4}$ 解析:
∵△ABC是直角三角形,
∴∠ABC+∠BAC=90°.
∵两个阴影部分扇形的半径均为1,
∴$S_{阴影}$=$\dfrac{90π×1^2}{360}$=$\dfrac{π}{4}$.
(2)$\dfrac{3π}{8}$ 解析:根据题图可知,∠1+∠2=180°-90°=90°,∠3=45°,
∴题图中阴影部分的圆心角的和是90°+45°=135°.
∵三个阴影部分扇形的半径均为1,
∴阴影部分的面积的和为$S=\dfrac{135π×1^2}{360}=\dfrac{3π}{8}$.
∵△ABC是直角三角形,
∴∠ABC+∠BAC=90°.
∵两个阴影部分扇形的半径均为1,
∴$S_{阴影}$=$\dfrac{90π×1^2}{360}$=$\dfrac{π}{4}$.
(2)$\dfrac{3π}{8}$ 解析:根据题图可知,∠1+∠2=180°-90°=90°,∠3=45°,
∴题图中阴影部分的圆心角的和是90°+45°=135°.
∵三个阴影部分扇形的半径均为1,
∴阴影部分的面积的和为$S=\dfrac{135π×1^2}{360}=\dfrac{3π}{8}$.
解析
【分析】
对于（1）：观察图①，两个阴影扇形的半径均为1，结合△ABC是直角三角形，其两个锐角∠ABC与∠BAC的和为90°，因此两个扇形的圆心角之和为90°，利用扇形面积公式即可计算面积和。
对于（2）：观察图②，三个阴影扇形的半径均为1，根据三角形内角和，∠1+∠2=180°-90°=90°，又∠3=45°，所以三个扇形的圆心角之和为90°+45°=135°，再用扇形面积公式计算总和。
【解析】
（1）因为△ABC是直角三角形，所以∠ABC + ∠BAC = 90°，两个阴影扇形的半径均为1，根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），则阴影部分两个小扇形的面积之和为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$。
（2）由图可知，∠1 + ∠2 = 180° - 90° = 90°，且∠3 = 45°，因此三个阴影扇形的圆心角之和为90° + 45° = 135°，三个扇形的半径均为1，所以阴影部分面积的和为$\frac{135π×1^2}{360}=\frac{3π}{8}$。
【答案】
(1)$\dfrac{π}{4}$；(2)$\dfrac{3π}{8}$
【知识点】
扇形面积计算、直角三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题考查扇形面积的计算，核心是将不规则阴影面积转化为规则扇形面积和，利用直角三角形和三角形内角和确定圆心角之和，体现转化思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
对于（1）：观察图①，两个阴影扇形的半径均为1，结合△ABC是直角三角形，其两个锐角∠ABC与∠BAC的和为90°，因此两个扇形的圆心角之和为90°，利用扇形面积公式即可计算面积和。
对于（2）：观察图②，三个阴影扇形的半径均为1，根据三角形内角和，∠1+∠2=180°-90°=90°，又∠3=45°，所以三个扇形的圆心角之和为90°+45°=135°，再用扇形面积公式计算总和。
【解析】
（1）因为△ABC是直角三角形，所以∠ABC + ∠BAC = 90°，两个阴影扇形的半径均为1，根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），则阴影部分两个小扇形的面积之和为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$。
（2）由图可知，∠1 + ∠2 = 180° - 90° = 90°，且∠3 = 45°，因此三个阴影扇形的圆心角之和为90° + 45° = 135°，三个扇形的半径均为1，所以阴影部分面积的和为$\frac{135π×1^2}{360}=\frac{3π}{8}$。
【答案】
(1)$\dfrac{π}{4}$；(2)$\dfrac{3π}{8}$
【知识点】
扇形面积计算、直角三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题考查扇形面积的计算，核心是将不规则阴影面积转化为规则扇形面积和，利用直角三角形和三角形内角和确定圆心角之和，体现转化思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. (2025·山西中考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC=90°, AB=AC$, 分别以点 $B,C$ 为圆心、$BC$ 的长为半径画弧, 与 $BA,CA$ 的延长线分别交于点 $D,E$. 若 $BC=4$, 则图中阴影部分的面积为 （
A.$2π-4$
B.$4π-4$
C.$8π-8$
D.$4π-8$
D
）A.$2π-4$
B.$4π-4$
C.$8π-8$
D.$4π-8$
答案
3.D 解析:
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵BC=4,
∴$AB=AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}BC=2\sqrt{2}$,
∴$S_{阴影}=2(S_{扇形BCD}-S_{△ ABC})=2×(\dfrac{45π×4^2}{360}-\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2})=4π-8$,故选D.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵BC=4,
∴$AB=AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}BC=2\sqrt{2}$,
∴$S_{阴影}=2(S_{扇形BCD}-S_{△ ABC})=2×(\dfrac{45π×4^2}{360}-\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2})=4π-8$,故选D.
解析
【分析】
观察图形可知，阴影部分为对称的两部分，可利用割补法将其转化为2倍的“单个扇形面积减去△ABC的面积”。解题思路：先根据等腰直角三角形性质求出底角度数，再确定扇形的半径和圆心角，分别计算扇形与三角形的面积，最后代入公式求出阴影部分总面积。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，故△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°。
已知BC=4，根据等腰直角三角形边长关系，AB=AC= $\frac{\sqrt{2}}{2}BC = \frac{\sqrt{2}}{2}×4 = 2\sqrt{2}$。
阴影部分面积可表示为2倍的“圆心角为45°、半径为4的扇形面积减去△ABC的面积”，即：
$S_{阴影}=2×(S_{扇形BCD}-S_{△ABC})$
其中，$S_{扇形BCD}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
因此$S_{阴影}=2×(2π -4)=4π -8$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算、等腰直角三角形性质、阴影面积割补法
【点评】
本题结合等腰直角三角形与扇形面积公式，考查不规则图形面积的计算，核心是利用图形对称性简化计算，需掌握割补法的应用，属于中考常见的几何面积题型。
【难度系数】
0.5
观察图形可知，阴影部分为对称的两部分，可利用割补法将其转化为2倍的“单个扇形面积减去△ABC的面积”。解题思路：先根据等腰直角三角形性质求出底角度数，再确定扇形的半径和圆心角，分别计算扇形与三角形的面积，最后代入公式求出阴影部分总面积。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，故△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°。
已知BC=4，根据等腰直角三角形边长关系，AB=AC= $\frac{\sqrt{2}}{2}BC = \frac{\sqrt{2}}{2}×4 = 2\sqrt{2}$。
阴影部分面积可表示为2倍的“圆心角为45°、半径为4的扇形面积减去△ABC的面积”，即：
$S_{阴影}=2×(S_{扇形BCD}-S_{△ABC})$
其中，$S_{扇形BCD}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
因此$S_{阴影}=2×(2π -4)=4π -8$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算、等腰直角三角形性质、阴影面积割补法
【点评】
本题结合等腰直角三角形与扇形面积公式，考查不规则图形面积的计算，核心是利用图形对称性简化计算，需掌握割补法的应用，属于中考常见的几何面积题型。
【难度系数】
0.5
4. (2025·青岛中考) 如图，在扇形$AOB$中，$∠ AOB=30°, OA=2\sqrt{3}$，点$C$在$OB$上，且$OC=$$AC$. 延长$CB$到$D$, 使$CD=CA$. 以$CA,CD$为邻边作平行四边形$ACDE$, 则图中阴影部分的面积为
$3\sqrt{3}-π$
(结果保留$π$).答案
4.$3\sqrt{3}-π$ 解析:如图
,过点A作AH⊥OD于点H,∵∠AOB=30°,OA=$2\sqrt{3}$,
∴$AH=\dfrac{1}{2}OA=\sqrt{3}$.
∵OC=AC,
∴∠OAC=∠AOB=30°,
∴∠ACB=30°+30°=60°,
∴∠CAH=30°,
∴AC=2CH.设CH长度为x,则AC=2x,在△ACH中,由勾股定理得$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得x=±1.
∵x＞0,
∴x=1,则CH=1,AC=2,
∴CD=CA=OC=2,
∴$S_{阴影}=S_{△ AOC}+S_{□ ACDE}-S_{扇形OAB}=\dfrac{1}{2}×2×\sqrt{3}+2×\sqrt{3}-\dfrac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-π=3\sqrt{3}-π$.
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，需先求出关键线段长度和相关图形的面积。步骤如下：1. 过点A作AH⊥OD，利用∠AOB=30°和OA的长度求出高AH；2. 由OC=AC推出等腰三角形的角度关系，进而在直角三角形ACH中用勾股定理求出CH、AC、OC的长度；3. 得到CD的长度后计算平行四边形ACDE的面积；4. 计算扇形OAB的面积；5. 通过面积和差关系求出阴影部分面积。
【解析】
如图，过点A作AH⊥OD于点H。
∵∠AOB=30°，OA=2√3，
∴在Rt△AOH中，AH=1/2 OA=√3。
∵OC=AC，
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=∠AOB + ∠OAC=60°，
∴在Rt△ACH中，∠CAH=30°，设CH=x，则AC=2x，由勾股定理得：
x² + (√3)²=(2x)²，解得x=1（x=-1舍去），
∴CH=1，AC=2，故OC=AC=2，CD=CA=2。
平行四边形ACDE的面积=CD×AH=2×√3=2√3，
△AOC的面积=1/2×OC×AH=1/2×2×√3=√3，
扇形OAB的面积= (30π×(2√3)²)/360=π，
∴阴影部分面积= S△AOC + S□ACDE - S扇形OAB=√3 + 2√3 - π=3√3 - π。
【答案】
3√3 - π
【知识点】
平行四边形面积、扇形面积、直角三角形性质
【点评】
本题综合运用直角三角形性质、平行四边形和扇形面积公式，关键是通过等腰三角形角度关系求线段长度，属于中等难度的几何面积计算题。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分的面积，需先求出关键线段长度和相关图形的面积。步骤如下：1. 过点A作AH⊥OD，利用∠AOB=30°和OA的长度求出高AH；2. 由OC=AC推出等腰三角形的角度关系，进而在直角三角形ACH中用勾股定理求出CH、AC、OC的长度；3. 得到CD的长度后计算平行四边形ACDE的面积；4. 计算扇形OAB的面积；5. 通过面积和差关系求出阴影部分面积。
【解析】
如图，过点A作AH⊥OD于点H。
∵∠AOB=30°，OA=2√3，
∴在Rt△AOH中，AH=1/2 OA=√3。
∵OC=AC，
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=∠AOB + ∠OAC=60°，
∴在Rt△ACH中，∠CAH=30°，设CH=x，则AC=2x，由勾股定理得：
x² + (√3)²=(2x)²，解得x=1（x=-1舍去），
∴CH=1，AC=2，故OC=AC=2，CD=CA=2。
平行四边形ACDE的面积=CD×AH=2×√3=2√3，
△AOC的面积=1/2×OC×AH=1/2×2×√3=√3，
扇形OAB的面积= (30π×(2√3)²)/360=π，
∴阴影部分面积= S△AOC + S□ACDE - S扇形OAB=√3 + 2√3 - π=3√3 - π。
【答案】
3√3 - π
【知识点】
平行四边形面积、扇形面积、直角三角形性质
【点评】
本题综合运用直角三角形性质、平行四边形和扇形面积公式，关键是通过等腰三角形角度关系求线段长度，属于中等难度的几何面积计算题。
【难度系数】
0.5
5.（梧州中考）如图，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正四边形，分别以点$A,O$为圆心，取大于$\dfrac{1}{2}OA$的定长为半径画弧，两弧相交于点$M,N$，作直线$MN$，交$\odot O$于点$E,F$.若$OA=1$，则$\overset{\frown}{BE}$，$AE$，$AB$所围成的阴影部分面积为
$\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{2}$
.答案
5.$\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{2}$ 解析:连接EO,OB,设EF与AO交于点H,由尺规作图痕迹可知,MN为线段AO的垂直平分线,
∴EA=EO.又EO=AO,
∴△EAO为等边三角形,
∴∠EOA=60°,
∴$EH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}EO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$S_{弓形AE}=S_{扇形AOE}-S_{△ AOE}=\dfrac{60π× OA^2}{360}-\dfrac{1}{2}OA· EH=\dfrac{π}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形,
∴∠AOB=90°,
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ AOB}-S_{弓形AE}=\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2}×1×1-(\dfrac{π}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4})=\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{2}$.
∴EA=EO.又EO=AO,
∴△EAO为等边三角形,
∴∠EOA=60°,
∴$EH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}EO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$S_{弓形AE}=S_{扇形AOE}-S_{△ AOE}=\dfrac{60π× OA^2}{360}-\dfrac{1}{2}OA· EH=\dfrac{π}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形,
∴∠AOB=90°,
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ AOB}-S_{弓形AE}=\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2}×1×1-(\dfrac{π}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4})=\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
要计算阴影部分面积，需将其转化为规则图形的面积差。首先根据尺规作图痕迹判断MN是AO的垂直平分线，利用垂直平分线性质得EA=EO，结合OA=EO=1判定△EAO为等边三角形，求出∠AOE=60°；再由内接正四边形的性质得中心角∠AOB=90°；最后通过计算扇形、三角形、弓形的面积，利用面积差得到阴影部分面积。
【解析】
连接EO、OB，设EF与AO交于点H。
1. 由尺规作图可知，MN是线段AO的垂直平分线，故EA=EO。已知OA=1，EO=OA=1，因此EA=EO=OA=1，△EAO为等边三角形，得∠EOA=60°。
2. 在等边△AOE中，OH=1/2 OA=1/2，EH为高，EH=√(OE² - OH²)=√(1² - (1/2)²)=√3/2。
S△AOE=1/2 × OA × EH=1/2 ×1×√3/2=√3/4；
S扇形AOE=(60π×1²)/360=π/6；
则S弓形AE=S扇形AOE - S△AOE=π/6 - √3/4。
3. 因四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，中心角∠AOB=360°÷4=90°。
S扇形AOB=(90π×1²)/360=π/4；
S△AOB=1/2×OA×OB=1/2×1×1=1/2。
4. S阴影=S扇形AOB - S△AOB - S弓形AE
=π/4 -1/2 - (π/6 - √3/4)
=π/12 + √3/4 -1/2。
【答案】
π/12 + √3/4 -1/2
【知识点】
垂直平分线性质、扇形面积计算、正多边形与圆
【点评】
本题结合尺规作图、正多边形性质，将不规则阴影面积转化为扇形与三角形、弓形的面积差，需熟练掌握相关几何性质及面积公式，是中考常见的几何面积计算题型。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分面积，需将其转化为规则图形的面积差。首先根据尺规作图痕迹判断MN是AO的垂直平分线，利用垂直平分线性质得EA=EO，结合OA=EO=1判定△EAO为等边三角形，求出∠AOE=60°；再由内接正四边形的性质得中心角∠AOB=90°；最后通过计算扇形、三角形、弓形的面积，利用面积差得到阴影部分面积。
【解析】
连接EO、OB，设EF与AO交于点H。
1. 由尺规作图可知，MN是线段AO的垂直平分线，故EA=EO。已知OA=1，EO=OA=1，因此EA=EO=OA=1，△EAO为等边三角形，得∠EOA=60°。
2. 在等边△AOE中，OH=1/2 OA=1/2，EH为高，EH=√(OE² - OH²)=√(1² - (1/2)²)=√3/2。
S△AOE=1/2 × OA × EH=1/2 ×1×√3/2=√3/4；
S扇形AOE=(60π×1²)/360=π/6；
则S弓形AE=S扇形AOE - S△AOE=π/6 - √3/4。
3. 因四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，中心角∠AOB=360°÷4=90°。
S扇形AOB=(90π×1²)/360=π/4；
S△AOB=1/2×OA×OB=1/2×1×1=1/2。
4. S阴影=S扇形AOB - S△AOB - S弓形AE
=π/4 -1/2 - (π/6 - √3/4)
=π/12 + √3/4 -1/2。
【答案】
π/12 + √3/4 -1/2
【知识点】
垂直平分线性质、扇形面积计算、正多边形与圆
【点评】
本题结合尺规作图、正多边形性质，将不规则阴影面积转化为扇形与三角形、弓形的面积差，需熟练掌握相关几何性质及面积公式，是中考常见的几何面积计算题型。
【难度系数】
0.5
6. (达州中考)已知:如图,以等边三角形$ABC$的边$BC$为直径作$\odot O$,分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$,过点$D$作$DF ⊥ AC$交$AC$于点$F$.
(1)求证:$DF$是$\odot O$的切线;
(2)若等边三角形$ABC$的边长为8,求由$\overset{\frown}{DE}$,$DF$,$EF$围成的阴影部分面积.
视频讲题
(1)求证:$DF$是$\odot O$的切线;
(2)若等边三角形$ABC$的边长为8,求由$\overset{\frown}{DE}$,$DF$,$EF$围成的阴影部分面积.
视频讲题
答案
6.(1)如图
,连接CD,OD,∵BC是⊙O的直径,
∴∠CDB=90°,即CD⊥AB.又
∵△ABC是等边三角形,
∴AD=BD.
∵BO=CO,
∴DO是△ABC的中位线,
∴OD//AC.
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,且OD为⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线.
(2)如图
,连接OE,作OG⊥AC于点G,∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°,
∴四边形OGFD是矩形,
∴FG=OD=4.
∵OC=OE=OD=OB,且∠OCE=∠B=60°,
∴△OBD和△OCE均为等边三角形,
∴∠BOD=∠COE=60°,CE=OC=4,
∴$EG=\dfrac{1}{2}CE=2$,$DF=OG=2\sqrt{3}$,∠DOE=60°,
∴EF=FG-EG=2,则阴影部分面积为$S_{梯形EFDO}-S_{扇形DOE}=\dfrac{1}{2}×(2+4)×2\sqrt{3}-\dfrac{60π×4^2}{360}=6\sqrt{3}-\dfrac{8π}{3}$.
解析
【分析】
要解决本题，分两小问：(1)证明DF是⊙O的切线，需根据切线判定定理，连接过切点的半径OD，利用等边三角形性质和中位线定理推导OD与AC平行，结合DF⊥AC得OD⊥DF，从而证得切线；(2)计算阴影面积，需将阴影转化为梯形EFDO面积减去扇形DOE面积，先通过等边三角形性质、矩形判定求出各边长度和扇形圆心角，再代入公式计算。
【解析】
(1) 证明：连接CD、OD。
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠CDB=90°，即CD⊥AB。
又
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AD=BD（等边三角形三线合一）。
∵ BO=CO（O是BC中点），
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD//AC。
∵ DF⊥AC，
∴ DF⊥OD。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF是⊙O的切线。
(2) 解：连接OE，作OG⊥AC于点G。
∵ ∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴ 四边形OGFD是矩形，
∴ FG=OD=4。
∵ OC=OE，∠OCE=∠B=60°，
∴ △OCE是等边三角形，
∴ CE=OC=4，∠COE=60°。
同理，△OBD是等边三角形，
∴ ∠BOD=60°，
∴ ∠DOE=180°-∠BOD-∠COE=60°。
在Rt△OGE中，∠OEG=60°，OE=4，
∴ EG=OE·cos60°=4×1/2=2，OG=OE·sin60°=4×(√3/2)=2√3。
∴ EF=FG-EG=4-2=2，DF=OG=2√3。
阴影部分面积=S梯形EFDO - S扇形DOE
= (1/2)×(EF + OD)×DF - (60π×4²)/360
= (1/2)×(2+4)×2√3 - (16π)/6
= 6√3 - (8π)/3。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 阴影部分面积为$6\sqrt{3}-\dfrac{8π}{3}$。
【知识点】
切线的判定、等边三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题是中考几何综合题，结合圆的切线判定、等边三角形性质、梯形与扇形面积计算，需构造辅助线，考查学生的逻辑推理和图形转化能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，分两小问：(1)证明DF是⊙O的切线，需根据切线判定定理，连接过切点的半径OD，利用等边三角形性质和中位线定理推导OD与AC平行，结合DF⊥AC得OD⊥DF，从而证得切线；(2)计算阴影面积，需将阴影转化为梯形EFDO面积减去扇形DOE面积，先通过等边三角形性质、矩形判定求出各边长度和扇形圆心角，再代入公式计算。
【解析】
(1) 证明：连接CD、OD。
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠CDB=90°，即CD⊥AB。
又
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AD=BD（等边三角形三线合一）。
∵ BO=CO（O是BC中点），
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD//AC。
∵ DF⊥AC，
∴ DF⊥OD。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF是⊙O的切线。
(2) 解：连接OE，作OG⊥AC于点G。
∵ ∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴ 四边形OGFD是矩形，
∴ FG=OD=4。
∵ OC=OE，∠OCE=∠B=60°，
∴ △OCE是等边三角形，
∴ CE=OC=4，∠COE=60°。
同理，△OBD是等边三角形，
∴ ∠BOD=60°，
∴ ∠DOE=180°-∠BOD-∠COE=60°。
在Rt△OGE中，∠OEG=60°，OE=4，
∴ EG=OE·cos60°=4×1/2=2，OG=OE·sin60°=4×(√3/2)=2√3。
∴ EF=FG-EG=4-2=2，DF=OG=2√3。
阴影部分面积=S梯形EFDO - S扇形DOE
= (1/2)×(EF + OD)×DF - (60π×4²)/360
= (1/2)×(2+4)×2√3 - (16π)/6
= 6√3 - (8π)/3。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 阴影部分面积为$6\sqrt{3}-\dfrac{8π}{3}$。
【知识点】
切线的判定、等边三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题是中考几何综合题，结合圆的切线判定、等边三角形性质、梯形与扇形面积计算，需构造辅助线，考查学生的逻辑推理和图形转化能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
