9. (★★)如图,在$△ ABC$中,$O$是$△ ABC$内一点,且点$O$到$△ ABC$三边的距离相等,$∠ A=50°$,则$∠ BOC$的度数为 【 】


A.$95°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$130°$

B

10. (★★)如图,直线$l_{1},l_{2},l_{3}$表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 【 】

A.1处
B.2处
C.3处
D.4处

D

11. (★★)如图,$△ ABC$的三边$AB,BC,CA$的长分别为30,40,15,$P$是三条角平分线的交点,将$△ ABC$分成三个三角形,则$S_{△ APB}:S_{△ BPC}:S_{△ CPA}$等于 【 】

A.$1:1:1$
B.$6:8:3$
C.$5:8:3$
D.$4:5:3$

B

12. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$DE⊥ AB$于点$E,F$在$AC$上,$BD=DF$,求证:
(1)$CF=EB$;

(2)$AB=AF+2EB$。

(1)$\because$ $AD$是$∠BAC$的平分线,$DE⊥AB$,$DC⊥AC$,
$\therefore$ $DE=DC$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$和$\mathrm{Rt}△ EDB$中,
$\begin{cases} DF=BD, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ EDB(\mathrm{HL})$。
$\therefore$ $CF=EB$。
(2)由(1)知,$CD=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$与$\mathrm{Rt}△ ADE$中,
$\begin{cases} CD=DE, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$。
$\therefore$ $AC=AE$。
$\therefore$ $AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB$。

13. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=30°$,$∠ C=40°$。
(1)利用没有刻度的直尺和圆规作图(要求:保留作图痕迹,不写作法):
①在$BC$上求作一点$D$,使得$AD+DC=BC$;
②连接$AD$,在$DC$上找一点$E$,使得点$E$到$AD,AC$的距离相等。
(2)在(1)所作的图中,求$∠ DAE$的度数。

(1)①如图,点$D$即为所求。
②如图,点$E$即为所求。
(2)$\because$ $∠B=30°$,$∠C=40°$,
$\therefore$ $∠BAC=110°$。
由(1)可知,$AD=BD$,
$\therefore$ $∠B=∠BAD=30°$。
$\therefore$ $∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°$。
由(1)可知,$AE$平分$∠DAC$,
$\therefore$ $∠DAE=\dfrac{1}{2}∠DAC=40°$。