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1. 已知甲$=2×3×a$，乙$=2×7×a$（$a$是质数）。甲、乙的最大公因数是()，最小公倍数是()。
答案
2a；42a
解析
我们可以用分解质因数的方法求解最大公因数和最小公倍数：
1. 两个数的最大公因数是它们全部公有质因数的乘积，甲和乙公有的质因数是2和a，因此最大公因数为2×a=2a。
2. 两个数的最小公倍数是它们的公有质因数与各自独有质因数的乘积，公有质因数是2、a，甲独有的质因数是3，乙独有的质因数是7，因此最小公倍数为2×a×3×7=42a。
1. 两个数的最大公因数是它们全部公有质因数的乘积，甲和乙公有的质因数是2和a，因此最大公因数为2×a=2a。
2. 两个数的最小公倍数是它们的公有质因数与各自独有质因数的乘积，公有质因数是2、a，甲独有的质因数是3，乙独有的质因数是7，因此最小公倍数为2×a×3×7=42a。
2. 已知两个数的最大公因数是 1，最小公倍数是 57，那么这两个数是()和()。
答案
1（或3）；57（或19）
解析
两个数的最大公因数是1，说明这两个数是互质数，互质数的最小公倍数等于这两个数的乘积，因此这两个数的乘积为57。将57分解为两个正整数相乘的形式，可得57=1×57、57=3×19，这两组数都满足最大公因数是1、最小公倍数是57的条件。
3. 已知三个质数的乘积是105，这三个质数分别是()、()、()。
答案
3、5、7（三个数顺序可互换）
解析
本题考查分解质因数的相关知识点，我们对105进行质因数分解：首先105各位数字之和1+0+5=6，能被3整除，计算得105÷3=35，再将35分解可得35=5×7，3、5、7这三个数都只有1和它本身两个因数，都属于质数，且3×5×7=105，满足题目条件。
4. $1+3+5+\dots+99$ 的和是()数；
$1×3×5×\dots×99$ 的积是()数。
(填“奇”或“偶”)
$1×3×5×\dots×99$ 的积是()数。
(填“奇”或“偶”)
答案
偶；奇
解析
我们根据奇偶性的运算规律分步判断：
1. 分析加法算式：算式中的所有加数都是奇数，从1到99的奇数总共有50个。根据规律：偶数个奇数相加的和为偶数，因此$1+3+5+\dots+99$的和是偶数。
2. 分析乘法算式：算式中的所有乘数都是奇数，根据规律：任意多个奇数相乘的积仍然是奇数，因此$1×3×5×\dots×99$的积是奇数。
1. 分析加法算式：算式中的所有加数都是奇数，从1到99的奇数总共有50个。根据规律：偶数个奇数相加的和为偶数，因此$1+3+5+\dots+99$的和是偶数。
2. 分析乘法算式：算式中的所有乘数都是奇数，根据规律：任意多个奇数相乘的积仍然是奇数，因此$1×3×5×\dots×99$的积是奇数。
二、找出下列每组数的最小公倍数和最大公因数。
1. 8和2 3和9 5和10 4和8
我发现：。
2. 6和7 8和3 9和10 1和6
我发现：。
1. 8和2 3和9 5和10 4和8
我发现：。
2. 6和7 8和3 9和10 1和6
我发现：。
答案
1. 8和2的最大公因数是2、最小公倍数是8；3和9的最大公因数是3、最小公倍数是9；5和10的最大公因数是5、最小公倍数是10；4和8的最大公因数是4、最小公倍数是8。
我发现：当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
2. 6和7的最大公因数是1、最小公倍数是42；8和3的最大公因数是1、最小公倍数是24；9和10的最大公因数是1、最小公倍数是90；1和6的最大公因数是1、最小公倍数是6。
我发现：当两个数的公因数只有1（互质）时，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。
我发现：当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
2. 6和7的最大公因数是1、最小公倍数是42；8和3的最大公因数是1、最小公倍数是24；9和10的最大公因数是1、最小公倍数是90；1和6的最大公因数是1、最小公倍数是6。
我发现：当两个数的公因数只有1（互质）时，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。
解析
1. 先计算第一组各组数的结果：
8和2：最大公因数是2，最小公倍数是8
3和9：最大公因数是3，最小公倍数是9
5和10：最大公因数是5，最小公倍数是10
4和8：最大公因数是4，最小公倍数是8
观察这四组均为倍数关系的数，可总结对应规律。
2. 再计算第二组各组数的结果：
6和7：最大公因数是1，最小公倍数是42
8和3：最大公因数是1，最小公倍数是24
9和10：最大公因数是1，最小公倍数是90
1和6：最大公因数是1，最小公倍数是6
观察这四组公因数只有1的数，可总结对应规律。
8和2：最大公因数是2，最小公倍数是8
3和9：最大公因数是3，最小公倍数是9
5和10：最大公因数是5，最小公倍数是10
4和8：最大公因数是4，最小公倍数是8
观察这四组均为倍数关系的数，可总结对应规律。
2. 再计算第二组各组数的结果：
6和7：最大公因数是1，最小公倍数是42
8和3：最大公因数是1，最小公倍数是24
9和10：最大公因数是1，最小公倍数是90
1和6：最大公因数是1，最小公倍数是6
观察这四组公因数只有1的数，可总结对应规律。
三、求出下面每组数的最小公倍数。
3、6和8
4、10和16
5、15和20
3、6和8
4、10和16
5、15和20
答案
3、6和8的最小公倍数是24，4、10和16的最小公倍数是80，5、15和20的最小公倍数是60。
解析
我们使用五年级学习的短除法来求解每组数的最小公倍数，规则是用公有质因数依次去除这几个数，直到得到的商两两互质，最后将所有除数和最终的商相乘，所得结果就是这几个数的最小公倍数：
1. 计算3、6和8的最小公倍数：先用2除这三个数，得到商3、3、4，再用3除前两个商，得到商1、1、4，此时最终的商两两互质，相乘得：2×3×1×1×4=24；
2. 计算4、10和16的最小公倍数：先用2除这三个数，得到商2、5、8，再用2除第一个和第三个商，得到商1、5、4，此时最终的商两两互质，相乘得：2×2×1×5×4=80；
3. 计算5、15和20的最小公倍数：先用5除这三个数，得到商1、3、4，此时最终的商两两互质，相乘得：5×1×3×4=60。
1. 计算3、6和8的最小公倍数：先用2除这三个数，得到商3、3、4，再用3除前两个商，得到商1、1、4，此时最终的商两两互质，相乘得：2×3×1×1×4=24；
2. 计算4、10和16的最小公倍数：先用2除这三个数，得到商2、5、8，再用2除第一个和第三个商，得到商1、5、4，此时最终的商两两互质，相乘得：2×2×1×5×4=80；
3. 计算5、15和20的最小公倍数：先用5除这三个数，得到商1、3、4，此时最终的商两两互质，相乘得：5×1×3×4=60。
1. 幼儿园大班有 36 个小朋友，中班有 48个小朋友，小班有 54 个小朋友。按班分组，三个班的各组人数一样多，则每组最多有多少个小朋友？
答案
6个
解析
这道题的核心是求36、48、54的最大公因数，要让三个班分组后每组人数相同且人数最多，就是找三个数共有的最大因数。
1. 先列出三个数的公有质因数：用短除法，三个数同时除以公有质因数2，得到18、24、27；再同时除以公有质因数3，得到6、8、9，此时三个数没有除1以外的其他公有质因数。
2. 把所有公有质因数相乘：2×3=6，得到三个数的最大公因数是6。
1. 先列出三个数的公有质因数：用短除法，三个数同时除以公有质因数2，得到18、24、27；再同时除以公有质因数3，得到6、8、9，此时三个数没有除1以外的其他公有质因数。
2. 把所有公有质因数相乘：2×3=6，得到三个数的最大公因数是6。
2. 小红、小敏、小华三人相约一起到图书馆看书。小红每4天去一次，小敏每3天去一次，小华每6天去一次。暑假的第一天(7月1日)，三人一起去的，下一次他们同时去是几月几日？
答案
7月13日
解析
这是最小公倍数的实际应用题，要找出三人下一次同时去图书馆的日期，需要先求出4、3、6的最小公倍数，这个最小公倍数就是两次同去间隔的天数。
用列举法列出三个数的倍数：
4的倍数：4、8、12、16……
3的倍数：3、6、9、12、15……
6的倍数：6、12、18、24……
可得4、3、6的最小公倍数是12，说明距离7月1日再过12天三人会同时去图书馆，7月1日加12天为7月13日。
用列举法列出三个数的倍数：
4的倍数：4、8、12、16……
3的倍数：3、6、9、12、15……
6的倍数：6、12、18、24……
可得4、3、6的最小公倍数是12，说明距离7月1日再过12天三人会同时去图书馆，7月1日加12天为7月13日。
