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9. (2026·南通校级月考)已知某快递公司的收费标准:寄一件物品不超过5千克,收费8元;超过5千克时,超过部分每千克收费2元.如果小芳的妈妈在该快递公司寄一件x千克(x＞5)的物品,那么她需要付的费用为
$2x-2$
元.答案
9. $(2x-2)$ 解析:$8+(x-5)× 2=8+2x-10=2x-2$.
10. (1) 观察一列数：$-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, -\dfrac{5}{6}, \dfrac{7}{8}, \dots$. 按此规律，这一列数的第$n$个数是
(2) 如图，某链条每节长为2.8 cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1 cm，按这种连接方式，50节链条总长度为
$(-1)^n · \frac{2n-1}{2n}$
.(2) 如图，某链条每节长为2.8 cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1 cm，按这种连接方式，50节链条总长度为
$91$
cm，$n$节链条总长度为$(1.8n+1)$
cm.答案
10. (1)$(-1)^n · \frac{2n-1}{2n}$ 解析:由规律可得第一项分母为2,分子为1,之后每项分母与分子均增大2,则分母可表示为$2n$,分子可表示为$2n-1$,同时奇数项为负数,偶数项为正数,则第$n$个数可表示为$(-1)^n · \frac{2n-1}{2n}$.
(2)91 $(1.8n+1)$ 解析:1节链条的长度是2.8 cm,之后每多1节链条,链条总长变长$2.8-1=1.8$(cm),1节链条可视为$1+1.8=2.8$(cm),2节链条可视为$1+1.8× 2=4.6$(cm),以此类推,故50节链条总长度为$1+1.8× 50=91$(cm),$n$节链条总长度为$1+1.8× n=(1.8n+1)$cm.
(2)91 $(1.8n+1)$ 解析:1节链条的长度是2.8 cm,之后每多1节链条,链条总长变长$2.8-1=1.8$(cm),1节链条可视为$1+1.8=2.8$(cm),2节链条可视为$1+1.8× 2=4.6$(cm),以此类推,故50节链条总长度为$1+1.8× 50=91$(cm),$n$节链条总长度为$1+1.8× n=(1.8n+1)$cm.
11. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为$m(m＞0)$元的商品，都进行了两次价格下调，降价情况如表所示：
那么顾客到哪家超市购买这种商品最划算？
请通过计算加以说明.
那么顾客到哪家超市购买这种商品最划算？
请通过计算加以说明.
答案
11. 降价后三家超市的售价:甲为$(1-20\%)(1-20\%)m=0.64m$(元),乙为$(1-25\%)(1-15\%)m=0.6375m$(元),丙为$(1-30\%)(1-10\%)m=0.63m$(元).因为$0.63m＜0.6375m＜0.64m$,所以顾客到丙超市购买这种商品最划算.
12. 观察下列等式：
① $\frac{3}{2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$；② $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10}$；
③ $\frac{3}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{24}$；……
根据上述等式的规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：
(2)写出第n个等式(n为正整数)：
(3)应用你发现的规律，计算：$\frac{3}{5}+\frac{3}{17}+\frac{3}{35}-\frac{1}{10}-\frac{1}{102}-\frac{1}{420} =$
① $\frac{3}{2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$；② $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10}$；
③ $\frac{3}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{24}$；……
根据上述等式的规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：
$\frac{3}{14}=\frac{1}{5}+\frac{1}{70}$
；(2)写出第n个等式(n为正整数)：
$\frac{3}{3n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n(3n-1)}$
(用含有n的式子表示)；(3)应用你发现的规律，计算：$\frac{3}{5}+\frac{3}{17}+\frac{3}{35}-\frac{1}{10}-\frac{1}{102}-\frac{1}{420} =$
$\frac{3}{4}$
。答案
12. (1)$\frac{3}{14}=\frac{1}{5}+\frac{1}{70}$ 解析:后一项与前一项相比,等式左边分子不变,分母依次增加3,等式右边的第一个分数分母依次增加1,第二个分数分母依次为$1×2,2×5,3×8,\dots$,由此可得第5个等式为$\frac{3}{14}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5×14}$,即$\frac{3}{14}=\frac{1}{5}+\frac{1}{70}$.
(2)$\frac{3}{3n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n(3n-1)}$ 解析:由(1)中规律可得第$n$个等式为$\frac{3}{3n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n(3n-1)}$.
(3)$\frac{3}{4}$ 解析:$\frac{3}{5}+\frac{3}{17}+\frac{3}{35}-\frac{1}{10}-\frac{1}{102}-\frac{1}{420}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{102}+\frac{1}{12}+\frac{1}{420}-\frac{1}{10}-\frac{1}{102}-\frac{1}{420}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$.
(2)$\frac{3}{3n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n(3n-1)}$ 解析:由(1)中规律可得第$n$个等式为$\frac{3}{3n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n(3n-1)}$.
(3)$\frac{3}{4}$ 解析:$\frac{3}{5}+\frac{3}{17}+\frac{3}{35}-\frac{1}{10}-\frac{1}{102}-\frac{1}{420}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{102}+\frac{1}{12}+\frac{1}{420}-\frac{1}{10}-\frac{1}{102}-\frac{1}{420}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$.
13.【问题背景】在三角形ABC内部，有点$P_1$，可构成3个不重叠的小三角形(如图①).
【探究发现】当三角形ABC内的点的个数增加时(见图①~③)，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况.
(1)填表:
(2)当三角形ABC内部有n个点($P_1,P_2,···,P_n$)时，三角形内不重叠的小三角形的个数$S=2025$，求n的值.
【探究发现】当三角形ABC内的点的个数增加时(见图①~③)，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况.
(1)填表:
(2)当三角形ABC内部有n个点($P_1,P_2,···,P_n$)时，三角形内不重叠的小三角形的个数$S=2025$，求n的值.
答案
13. (1)3 5 7 9 解析:如题图①中,当三角形$ABC$内只有1个点时,可分割成3个互不重叠的小三角形;题图②中,当三角形$ABC$内只有2个点时,可分割成5个互不重叠的小三角形;题图③中,当三角形$ABC$内只有3个点时,可分割成7个互不重叠的小三角形;同理得,当三角形$ABC$内只有4个点时,可分割成9个互不重叠的小三角形.故答案为3,5,7,9.
(2)根据(1)的规律,当三角形$ABC$内有$n$个点($P_1$,$P_2$,$\dots$,$P_n$)时,可以把三角形$ABC$分割成$S=2n+1$个互不重叠的三角形,当$S=2\ 025$时,$2n+1=2\ 025$,所以$n=1\ 012$.
(2)根据(1)的规律,当三角形$ABC$内有$n$个点($P_1$,$P_2$,$\dots$,$P_n$)时,可以把三角形$ABC$分割成$S=2n+1$个互不重叠的三角形,当$S=2\ 025$时,$2n+1=2\ 025$,所以$n=1\ 012$.
