(1) 下列各数中，因数个数最多的是()。

A.12
B.18
C.36

C

分别计算各选项的因数个数。
A. $12$的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 12$，共$6$个。
B. $18$的因数有：$1, 2, 3, 6, 9, 18$，共$6$个。
C. $36$的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$，共$9$个。
比较三个选项，$36$的因数个数最多。

(2) 2、11、23、31 这 4 个数都是()。

A.奇数
B.合数
C.质数

C

奇数指不能被2整除的数，合数是指除了1和它本身还有其他因数的数，质数是指除了1和它本身没有其他因数的数。2的因数只有1和2，11的因数只有1和11，23的因数只有1和23，31的因数只有1和31，这4个数都是质数，其中2也是唯一的偶质数，题目中4个数不都是奇数（2是偶数），也不都是合数。所以这4个数都是质数。

(3) 一个数既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是()。

A.6
B.12
C.24

B

一个数既是它本身的倍数又是它本身的因数，12的最大因数是12本身，12的最小倍数也是12本身。6是12的因数但不是12的倍数，24是12的倍数但不是12的因数，所以这个数是12。

(4) 一个质数只有()个因数。

A.1
B.2
C.3

B

根据质数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数。所以质数只有1和它本身两个因数。

(5) $□$416 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数。“$□$”里应填()。

A.3
B.5
C.1 或 4 或 7

C

要使一个数既是2的倍数又是3的倍数，需要满足以下条件：
1. 2 的倍数：个位数字是偶数，题目中个位是6，满足条件；
2. 3 的倍数：所有数字之和是3的倍数，即“$□$”+4+1+6=“$□$”+11 是3的倍数。
设“$□$”内数字为x，则x+11是3的倍数，x是1到9的整数。
当x=1时，1+11=12，是3的倍数；
当x=4时，4+11=15，是3的倍数；
当x=7时，7+11=18，是3的倍数；
其他值不满足条件，因此可选1或4或7。

(6) 把 18 分解质因数，下列选项正确的是()。

A.$18 = 2×9$
B.$18 = 1×2×3×3$
C.$18 = 2×3×3$

C

分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，应从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
选项A中$9$不是质数，该选项错误。
选项B中$1$既不是质数也不是合数，该选项错误。
选项C中$2$、$3$都是质数，$18 = 2×3×3$，该选项正确。

5. 用短除法把下列各数分解质因数。
65 56 30 105

65=5×13；56=2×2×2×7；30=2×3×5；105=3×5×7

65：5|65，商13，13是质数，所以65=5×13；
56：2|56，商28；2|28，商14；2|14，商7，7是质数，所以56=2×2×2×7；
30：2|30，商15；3|15，商5，5是质数，所以30=2×3×5；
105：3|105，商35；5|35，商7，7是质数，所以105=3×5×7。

6. 解决问题。
(1) 一些萝卜，如果平均分给 8 只兔子，正好剩 1 个；如果平均分给 9 只兔子，也正好剩 1 个。这些萝卜至少有多少个？
(2) 猜猜甲、乙、丙各是几。
甲：我是比 12 大、比 15 小的奇数。
乙：我是一个一位数，我和另一个数都是质数，我们的和是 15。
丙：我是一个两位数，并且是比 50 小的偶数，十位上的数字与个位上的数字的积是 18。
(3) 丽丽妈妈出生的年份，左数第 1 位上的数既不是质数，也不是合数；第 2 位上的数是 9 的最小倍数；第 3 位上的数是 10 以内最大的偶数；第 4 位上的数是 10 以内最大的质数。她出生的月份既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。她的出生日是最小的合数。丽丽妈妈是哪年、哪月、哪日出生的？
(4) 小方一家三口去听音乐会，3 人的座位号是 3 个连续的奇数，这 3 个数的和是 33。你知道小方一家三口的座位号分别是多少吗？
(5) 想一想，说一说。
$1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + 5×6 + ··· + 14×15 + 15×16 + 16×17 + 17×18$ 的计算结果是奇数还是偶数？说一说你的理由。

(1) 73
(2) 甲：13，乙：2，丙：36
(3) 1987年10月4日
(4) 9、11、13
(5) 偶数

(1) 题意可知，萝卜数减去1后是8和9的公倍数，求最小的萝卜数即求8和9的最小公倍数后加1。8和9互质，最小公倍数为8×9=72，所以萝卜数=72+1=73。
(2) 甲：比12大、比15小的奇数是13；
乙：一位质数且和为15，则另一个数也是质数，15拆分为2+13、3+12（12非质）、5+10（10非质）、7+8（8非质），只有2和13满足，故乙为2；
丙：两位偶数且小于50，十位与个位积为18，18=2×9或3×6，满足条件的两位偶数为36或92（舍去92），故丙为36；
(3) 出生年份：第1位非质非合为1，第2位9的最小倍数为9，第3位10以内最大偶数为8，第4位10以内最大质数为7，故年份为1987；月份为2和5的公倍数为10月以外的（月份≤12）1×10，即10月；日为最小合数为4；
(4) 设中间座位号为x，三个连续奇数和为3x=33，故x=11，座位号分别为5+（或直接解为）9、11、13（连续奇数）；
(5) 每一项为n(n+1)，两连续整数必为一奇一偶，乘积为偶数，偶数相加仍为偶数。