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1. 化简$(-x)^{3}(-x)^{2}$,结果正确的是(
A.$-x^{6}$
B.$x^{6}$
C.$x^{5}$
D.$-x^{5}$
D
)A.$-x^{6}$
B.$x^{6}$
C.$x^{5}$
D.$-x^{5}$
答案
D
解析
根据同底数幂的乘法法则，相乘时底数不变，指数相加。
原式为 $(-x)^3 \cdot (-x)^2$，底数为 $-x$，指数分别为 3 和 2。
指数相加：$3 + 2 = 5$，因此结果为 $(-x)^5$。
进一步化简：$(-x)^5 = -x^5$。
原式为 $(-x)^3 \cdot (-x)^2$，底数为 $-x$，指数分别为 3 和 2。
指数相加：$3 + 2 = 5$，因此结果为 $(-x)^5$。
进一步化简：$(-x)^5 = -x^5$。
2. 我们约定$a\otimes b = 10^{a}×10^{b}$,如$2\otimes 3 = 10^{2}×10^{3}= 10^{5}$,那么$4\otimes 8$为(
A.32
B.$10^{32}$
C.$10^{12}$
D.$12^{10}$
C
)A.32
B.$10^{32}$
C.$10^{12}$
D.$12^{10}$
答案
C
解析
根据题目中的定义，$a \otimes b = 10^a × 10^b$。
利用同底数幂的乘法法则，$10^a × 10^b = 10^{a+b}$。
因此，$4 \otimes 8 = 10^4 × 10^8 = 10^{4+8} = 10^{12}$。
利用同底数幂的乘法法则，$10^a × 10^b = 10^{a+b}$。
因此，$4 \otimes 8 = 10^4 × 10^8 = 10^{4+8} = 10^{12}$。
1. (1)$a^{4}\cdot a^{3}\cdot a=$
(2)$(-x)\cdot (-x)^{3}\cdot (-x)^{5}=$
(3)$x^{2m}\cdot x^{2m + 1}=$
$a^{8}$
；(2)$(-x)\cdot (-x)^{3}\cdot (-x)^{5}=$
$-x^{9}$
；(3)$x^{2m}\cdot x^{2m + 1}=$
$x^{4m + 1}$
。答案
(1) $a^{8}$；
(2) $-x^{9}$；
(3) $x^{4m + 1}$。
(2) $-x^{9}$；
(3) $x^{4m + 1}$。
解析
(1) 根据同底数幂的乘法法则，当底数相同时，指数相加。即 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
所以，$a^{4} \cdot a^{3} \cdot a = a^{4+3+1} = a^{8}$。
(2) 同样应用同底数幂的乘法法则，并注意负数的奇数次幂和偶数次幂的符号规律，
$(-x) \cdot (-x)^{3} \cdot (-x)^{5} = (-x)^{1+3+5} = (-x)^{9} = -x^{9}$，
(3) 再次应用同底数幂的乘法法则，
$x^{2m} \cdot x^{2m+1} = x^{2m+(2m+1)} = x^{4m+1}$，
所以，$a^{4} \cdot a^{3} \cdot a = a^{4+3+1} = a^{8}$。
(2) 同样应用同底数幂的乘法法则，并注意负数的奇数次幂和偶数次幂的符号规律，
$(-x) \cdot (-x)^{3} \cdot (-x)^{5} = (-x)^{1+3+5} = (-x)^{9} = -x^{9}$，
(3) 再次应用同底数幂的乘法法则，
$x^{2m} \cdot x^{2m+1} = x^{2m+(2m+1)} = x^{4m+1}$，
2. (1)$(a - b)^{3}\cdot (a - b)^{6}= $
(2)$-2^{2}×(-2)^{2}= $
(3)$\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{8}= $
$(a - b)^{9}$
；(2)$-2^{2}×(-2)^{2}= $
$-16$
；(3)$\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{8}= $
$\left ( -\frac{1}{3} \right ) ^{13} $
。答案
(1)$(a - b)^{9}$；
(2)$-16$；
(3)$\left ( -\frac{1}{3} \right ) ^{13} $。
(2)$-16$；
(3)$\left ( -\frac{1}{3} \right ) ^{13} $。
解析
(1) 根据同底数幂的乘法法则，$(a - b)^{3}\cdot (a - b)^{6} = (a - b)^{3+6} = (a - b)^{9}$；
(2) 首先计算各个幂，$-2^{2} = -4$，$(-2)^{2} = 4$，然后进行乘法运算，$-4 × 4 = -16$；
(3) 根据同底数幂的乘法法则，$\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{8} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{5+8} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{13}$，也可以写成$- \frac{1}{3^{13}}$但按照题目要求写成$\left ( -\frac{1}{3} \right ) ^{13} $即可。
(2) 首先计算各个幂，$-2^{2} = -4$，$(-2)^{2} = 4$，然后进行乘法运算，$-4 × 4 = -16$；
(3) 根据同底数幂的乘法法则，$\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{8} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{5+8} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{13}$，也可以写成$- \frac{1}{3^{13}}$但按照题目要求写成$\left ( -\frac{1}{3} \right ) ^{13} $即可。
3. 若$2^{m}= a$,$2^{n}= b$,且$m$,$n$为正整数,则$2^{m + n}= $
ab
。答案
ab
解析
因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$2^{m + n}=2^m × 2^n$。又因为$2^m = a$，$2^n = b$，所以$2^{m + n}=a × b = ab$。
4. 下列选项中两个幂是同底数幂的是(
A.$(-a)^{2}与a^{2}$
B.$-a^{2}与(-a)^{3}$
C.$-x^{2}与x^{5}$
D.$(a - b)^{3}与(b - a)^{3}$
C
)A.$(-a)^{2}与a^{2}$
B.$-a^{2}与(-a)^{3}$
C.$-x^{2}与x^{5}$
D.$(a - b)^{3}与(b - a)^{3}$
答案
C
解析
A. $(-a)^{2}$的底数是$-a$，而$a^{2}$的底数是$a$，底数不同，故A选项错误；
B. $-a^{2}$的底数是$a$，表示$a^2$的相反数，$(-a)^{3}$的底数是$-a$，底数不同，故B选项错误；
C. $-x^{2}$的底数是$x$，$x^{5}$的底数也是$x$，底数相同，故C选项正确；
D. $(a - b)^{3}$的底数是$a - b$，$(b - a)^{3}$的底数是$b - a$，由于$b - a = -(a - b)$，底数不同，故D选项错误。
B. $-a^{2}$的底数是$a$，表示$a^2$的相反数，$(-a)^{3}$的底数是$-a$，底数不同，故B选项错误；
C. $-x^{2}$的底数是$x$，$x^{5}$的底数也是$x$，底数相同，故C选项正确；
D. $(a - b)^{3}$的底数是$a - b$，$(b - a)^{3}$的底数是$b - a$，由于$b - a = -(a - b)$，底数不同，故D选项错误。
5. 下列计算中,正确的有(
①$10^{2}×10^{3}= 10^{6}$；②$5×5^{4}= 5^{4}$；③$a^{2}\cdot a^{2}= 2a^{2}$；④$b\cdot b^{3}= b^{4}$；⑤$c + c^{2}= a^{3}$；⑥$b^{5}+b^{5}= 2b^{5}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)①$10^{2}×10^{3}= 10^{6}$；②$5×5^{4}= 5^{4}$；③$a^{2}\cdot a^{2}= 2a^{2}$；④$b\cdot b^{3}= b^{4}$；⑤$c + c^{2}= a^{3}$；⑥$b^{5}+b^{5}= 2b^{5}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
①$10^{2} × 10^{3} = 10^{2+3} = 10^{5}$，原计算错误；
②$5 × 5^{4} = 5^{1+4} = 5^{5}$，原计算错误；
③$a^{2} \cdot a^{2} = a^{2+2} = a^{4}$，原计算错误；
④$b \cdot b^{3} = b^{1+3} = b^{4}$，计算正确；
⑤$c + c^{2}$ 无法合并，原计算错误；
⑥$b^{5} + b^{5} = 2b^{5}$，计算正确。
正确的有 2 个。
②$5 × 5^{4} = 5^{1+4} = 5^{5}$，原计算错误；
③$a^{2} \cdot a^{2} = a^{2+2} = a^{4}$，原计算错误；
④$b \cdot b^{3} = b^{1+3} = b^{4}$，计算正确；
⑤$c + c^{2}$ 无法合并，原计算错误；
⑥$b^{5} + b^{5} = 2b^{5}$，计算正确。
正确的有 2 个。
6. 下列计算的结果正确的是(
A.$(-x^{2})\cdot (-x)^{2}= x^{4}$
B.$x^{2}y^{3}\cdot x^{4}y^{3}z= x^{8}y^{9}z$
C.$(-4×10^{3})\cdot (8×10^{5})= -3.2×10^{9}$
D.$(-a - b)^{4}\cdot (a + b)^{3}= -(a + b)^{7}$
C
)A.$(-x^{2})\cdot (-x)^{2}= x^{4}$
B.$x^{2}y^{3}\cdot x^{4}y^{3}z= x^{8}y^{9}z$
C.$(-4×10^{3})\cdot (8×10^{5})= -3.2×10^{9}$
D.$(-a - b)^{4}\cdot (a + b)^{3}= -(a + b)^{7}$
答案
C
解析
A. $(-x^{2}) \cdot (-x)^{2} = (-x^{2}) \cdot x^{2} = -x^{4}$，与选项不符。
B. $x^{2}y^{3} \cdot x^{4}y^{3}z = x^{2+4}y^{3+3}z = x^{6}y^{6}z$，与选项不符。
C. $(-4 × 10^{3}) \cdot (8 × 10^{5}) = -32 × 10^{8} = -3.2 × 10^{9}$，与选项一致。
D. $(-a - b)^{4} \cdot (a + b)^{3} = (a + b)^{4} \cdot (a + b)^{3} = (a + b)^{7}$，与选项不符。
B. $x^{2}y^{3} \cdot x^{4}y^{3}z = x^{2+4}y^{3+3}z = x^{6}y^{6}z$，与选项不符。
C. $(-4 × 10^{3}) \cdot (8 × 10^{5}) = -32 × 10^{8} = -3.2 × 10^{9}$，与选项一致。
D. $(-a - b)^{4} \cdot (a + b)^{3} = (a + b)^{4} \cdot (a + b)^{3} = (a + b)^{7}$，与选项不符。
7. 下列运算中正确的是(
A.$a^{2}\cdot a^{3}= a^{6}$
B.$-2(a - b)= -2a - 2b$
C.$2x^{2}\cdot 3x^{3}= 6x^{5}$
D.$\left(-\frac{1}{2}\right)×\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}= -\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$
C
)A.$a^{2}\cdot a^{3}= a^{6}$
B.$-2(a - b)= -2a - 2b$
C.$2x^{2}\cdot 3x^{3}= 6x^{5}$
D.$\left(-\frac{1}{2}\right)×\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}= -\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$
答案
C
解析
A. 根据同底数幂的乘法法则，$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，所以 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$，与选项A中的 $a^{6}$ 不符，故A错误。
B. 根据分配律，$-2(a - b) = -2a + 2b$，与选项B中的 $-2a - 2b$ 不符，故B错误。
C. 根据同底数幂的乘法法则和数的乘法，$2x^{2} \cdot 3x^{3} = 6x^{2+3} = 6x^{5}$，与选项C中的 $6x^{5}$ 相符，故C正确。
D. 根据同底数幂的乘法法则，$\left(-\frac{1}{2}\right) × \left(-\frac{1}{2}\right)^{3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{1+3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$，与选项D中的 $-\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ 不符，故D错误。
B. 根据分配律，$-2(a - b) = -2a + 2b$，与选项B中的 $-2a - 2b$ 不符，故B错误。
C. 根据同底数幂的乘法法则和数的乘法，$2x^{2} \cdot 3x^{3} = 6x^{2+3} = 6x^{5}$，与选项C中的 $6x^{5}$ 相符，故C正确。
D. 根据同底数幂的乘法法则，$\left(-\frac{1}{2}\right) × \left(-\frac{1}{2}\right)^{3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{1+3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$，与选项D中的 $-\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ 不符，故D错误。
8. 电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中$1GB = 2^{10}MB$,$1MB = 2^{10}KB$,$1KB = 2^{10}B$。某视频文件的大小约为1GB,1GB等于(
A.$2^{30}B$
B.$8^{30}B$
C.$8×10^{10}B$
D.$2×10^{30}B$
A
)A.$2^{30}B$
B.$8^{30}B$
C.$8×10^{10}B$
D.$2×10^{30}B$
答案
A
解析
因为$1GB = 2^{10}MB$，$1MB = 2^{10}KB$，$1KB = 2^{10}B$，所以$1GB = 2^{10}×2^{10}×2^{10}B$。根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{10}×2^{10}×2^{10}=2^{10 + 10 + 10}=2^{30}B$。
