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1. 下列计算正确的是(
A.$(\frac{1}{2})^{0}×(\frac{1}{2})^{-2}= \frac{1}{4}$
B.$a^{2}·a^{2}= 2a^{3}$
C.$(a^{3})^{2}= a^{5}$
D.$(ab^{2})^{2}÷a^{2}b= b^{3}$
D
)A.$(\frac{1}{2})^{0}×(\frac{1}{2})^{-2}= \frac{1}{4}$
B.$a^{2}·a^{2}= 2a^{3}$
C.$(a^{3})^{2}= a^{5}$
D.$(ab^{2})^{2}÷a^{2}b= b^{3}$
答案
D
解析
A. 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，有：
$(\frac{1}{2})^{0} = 1$，
$(\frac{1}{2})^{-2} = 4$，
所以，$(\frac{1}{2})^{0} × (\frac{1}{2})^{-2} = 1 × 4 = 4$，与选项A中的$\frac{1}{4}$不符，故A错误。
B. 根据同底数幂的乘法法则，有：
$a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$，
与选项B中的$2a^{3}$不符，故B错误。
C. 根据幂的乘方法则，有：
$(a^{3})^{2} = a^{6}$，
与选项C中的$a^{5}$不符，故C错误。
D. 根据积的乘方法则和单项式除以单项式的法则，有：
$(ab^{2})^{2} = a^{2}b^{4}$，
$a^{2}b^{4} ÷ a^{2}b = b^{3}$，
与选项D中的$b^{3}$相符，故D正确。
$(\frac{1}{2})^{0} = 1$，
$(\frac{1}{2})^{-2} = 4$，
所以，$(\frac{1}{2})^{0} × (\frac{1}{2})^{-2} = 1 × 4 = 4$，与选项A中的$\frac{1}{4}$不符，故A错误。
B. 根据同底数幂的乘法法则，有：
$a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$，
与选项B中的$2a^{3}$不符，故B错误。
C. 根据幂的乘方法则，有：
$(a^{3})^{2} = a^{6}$，
与选项C中的$a^{5}$不符，故C错误。
D. 根据积的乘方法则和单项式除以单项式的法则，有：
$(ab^{2})^{2} = a^{2}b^{4}$，
$a^{2}b^{4} ÷ a^{2}b = b^{3}$，
与选项D中的$b^{3}$相符，故D正确。
2. 计算：$(a^{3}b)^{-2}=$(
A.$\frac{1}{a^{6}b^{2}}$
B.$a^{6}b^{2}$
C.$\frac{1}{a^{5}b^{2}}$
D.$-2a^{3}b$
A
)A.$\frac{1}{a^{6}b^{2}}$
B.$a^{6}b^{2}$
C.$\frac{1}{a^{5}b^{2}}$
D.$-2a^{3}b$
答案
A
解析
根据幂的运算法则，$(a^{m}b^{n})^{p} = a^{mp}b^{np}$，且负指数表示倒数，即$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$。
因此，$(a^{3}b)^{-2} = a^{3 × (-2)}b^{1 × (-2)} = a^{-6}b^{-2} = \frac{1}{a^{6}b^{2}}$。
3. 在平面直角坐标系中,已知点$A(3,1)$和点$B(n,m)$关于$x$轴对称,则$n^{m}$的值是(
A.$-3$
B.$\frac{1}{3}$
C.$3$
D.$-\frac{1}{3}$
B
)A.$-3$
B.$\frac{1}{3}$
C.$3$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
B
解析
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。点A(3,1)与点B(n,m)关于x轴对称，所以n=3，m=-1。则$n^m = 3^{-1} = \frac{1}{3}$。
4. 若$a= -3^{-2}$,$b= (-\frac{1}{3})^{-2}$,$c= (-\frac{1}{5})^{0}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为(
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$c ＜ a ＜ b$
B
)A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$c ＜ a ＜ b$
答案
B
解析
首先计算$a$的值，$a = -3^{-2} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$。
接着计算$b$的值，$b = \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\frac{3}{1}\right)^{2} = 9$。
最后计算$c$的值，$c = \left(-\frac{1}{5}\right)^{0} = 1$。
比较这三个数，得到$-\frac{1}{9} ＜ 1 ＜ 9$，即$a ＜ c ＜ b$。
接着计算$b$的值，$b = \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\frac{3}{1}\right)^{2} = 9$。
最后计算$c$的值，$c = \left(-\frac{1}{5}\right)^{0} = 1$。
比较这三个数，得到$-\frac{1}{9} ＜ 1 ＜ 9$，即$a ＜ c ＜ b$。
5. 已知实数$a$,$b满足(a - 2)^{2}+|b + 1|= 0$,则$a^{b}= $
$\frac{1}{2}$
.答案
$\frac{1}{2}$
解析
因为$(a - 2)^{2} \geq 0$，$|b + 1| \geq 0$，且$(a - 2)^{2} + |b + 1| = 0$，所以$a - 2 = 0$，$b + 1 = 0$，解得$a = 2$，$b = -1$。则$a^{b} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
6. 若$-3(x + 1)^{-2}$有意义,则$x$的取值范围是
$x\neq -1$
.答案
$x\neq -1$
解析
要使$-3(x + 1)^{-2}$有意义，则$(x + 1)^{-2}$有意义，根据负整数指数幂的意义，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$，$n$为正整数），所以$x + 1\neq0$，解得$x\neq -1$。
7. 已知$3^{n}= -5$,则$3^{-3n}= $
$-\frac{1}{125}$
.答案
$-\frac{1}{125}$
解析
因为$3^{n} = -5$，所以$3^{-3n}=(3^{n})^{-3}=(-5)^{-3}=\frac{1}{(-5)^{3}}=-\frac{1}{125}$
8. 计算：$4xy^{3}z÷(-2x^{-3}y^{-2})= $
$-2x^{4}y^{5}z$
.答案
$-2x^{4}y^{5}z$
解析
原式$=4÷(-2)\cdot x^{1-(-3)}y^{3-(-2)}z=-2x^{4}y^{5}z$
9. 代数式$(\frac{x}{x - 1})^{0}= 1$成立的条件是(
A.$x≠1$
B.$x≠0$
C.$x≠0或x≠1$
D.$x≠0且x≠1$
D
)A.$x≠1$
B.$x≠0$
C.$x≠0或x≠1$
D.$x≠0且x≠1$
答案
D
解析
根据题目，对于代数式$(\frac{x}{x - 1})^{0}= 1$，任何非零数的零次方等于1，因此需要满足$\frac{x}{x - 1} \neq 0$且分母$x - 1 \neq 0$。
首先，分母$x - 1 \neq 0$，即$x \neq 1$；
其次，分子$x \neq 0$，以确保分数$\frac{x}{x - 1}$本身有意义且非零（虽然零的零次方无意义，但此处分子为零时分数为零，零的零次方不成立）。
因此，需要同时满足$x \neq 0$且$x \neq 1$。
首先，分母$x - 1 \neq 0$，即$x \neq 1$；
其次，分子$x \neq 0$，以确保分数$\frac{x}{x - 1}$本身有意义且非零（虽然零的零次方无意义，但此处分子为零时分数为零，零的零次方不成立）。
因此，需要同时满足$x \neq 0$且$x \neq 1$。
10. 若$3x - y = 1$,则代数式$8^{x}÷2^{y}÷2$的值为
1
.答案
1
解析
因为$8^{x}=(2^{3})^{x}=2^{3x}$，所以$8^{x}÷2^{y}÷2=2^{3x}÷2^{y}÷2^{1}=2^{3x - y - 1}$。又因为$3x - y = 1$，所以$3x - y - 1=1 - 1=0$，则$2^{0}=1$。
11. 已知$(x - 1)^{x + 6}= 1$,则$x= $
2或0或-6
.答案
2或0或-6
解析
分三种情况讨论：
1. 底数为1时：$x - 1 = 1$，解得$x = 2$，此时指数$x + 6 = 8$，$1^8 = 1$，成立；
2. 底数为-1且指数为偶数时：$x - 1 = -1$，解得$x = 0$，指数$x + 6 = 6$（偶数），$(-1)^6 = 1$，成立；
3. 非零数的0次幂：$x + 6 = 0$且$x - 1 \neq 0$，解得$x = -6$，底数$x - 1 = -7 \neq 0$，$(-7)^0 = 1$，成立。
综上，$x = 2$或$0$或$-6$。
1. 底数为1时：$x - 1 = 1$，解得$x = 2$，此时指数$x + 6 = 8$，$1^8 = 1$，成立；
2. 底数为-1且指数为偶数时：$x - 1 = -1$，解得$x = 0$，指数$x + 6 = 6$（偶数），$(-1)^6 = 1$，成立；
3. 非零数的0次幂：$x + 6 = 0$且$x - 1 \neq 0$，解得$x = -6$，底数$x - 1 = -7 \neq 0$，$(-7)^0 = 1$，成立。
综上，$x = 2$或$0$或$-6$。
