3. 已知若干人以相同的效率做某件工作,$a人做b$天可以完工,若增加$c$人,求提前完工的天数。

$\frac{bc}{a+c}$

设每人每天的工作效率为1，总工作量为$a×b×1=ab$。增加$c$人后，人数为$a+c$，所需天数为$\frac{ab}{a+c}$。提前完工的天数为$b - \frac{ab}{a+c} = \frac{b(a+c) - ab}{a+c} = \frac{bc}{a+c}$。

探究点3 分式的化简求值
【例3】 先化简$(\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x + 1})÷\frac{x + 2}{x^{2}-1}$,然后从$-1$,$0$,$1$中选择适当的数代入求值。

1

原式括号内通分，得$\frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2}{(x - 1)(x + 1)}$；将除法转化为乘法，即$\frac{2}{(x - 1)(x + 1)} × \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 2}$；约分后得$\frac{2}{x + 2}$。由分母不为0，知$x \neq \pm 1$，选$x = 0$代入，得$\frac{2}{0 + 2} = 1$。

4. (2024·广元)先化简,再求值：$\frac{a}{a - b}÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}-2ab + b^{2}}-\frac{a - b}{a + b}$,其中$a$,$b满足b - 2a = 0$。

$\frac{2}{3}$（由于题目未给出选项形式，若按照常规求值题作答，此为最终计算结果）。

原式$=\frac{a}{a - b}÷\frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}}-\frac{a - b}{a + b}$
$=\frac{a}{a - b}×\frac{(a - b)^{2}}{(a + b)(a - b)}-\frac{a - b}{a + b}$
$=\frac{a}{a + b}-\frac{a - b}{a + b}$
$=\frac{a-(a - b)}{a + b}$
$=\frac{b}{a + b}$
由$b - 2a = 0$，可得$b = 2a$，
把$b = 2a$代入$\frac{b}{a + b}$，则$\frac{2a}{a+2a}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}$。

1. 计算$(\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x + 4}+\frac{2}{x + 2})÷\frac{x}{2x + 4}$的结果是()
A. $2$
B. $\frac{2x - 8}{x}$
C. $-6$
D. $-8$

A

原式$=\left[\frac{(x+2)(x - 2)}{(x + 2)^{2}}+\frac{2}{x + 2}\right]÷\frac{x}{2(x + 2)}$
$=\left(\frac{x - 2}{x + 2}+\frac{2}{x + 2}\right)÷\frac{x}{2(x + 2)}$
$=\frac{x - 2 + 2}{x + 2}×\frac{2(x + 2)}{x}$
$=\frac{x}{x + 2}×\frac{2(x + 2)}{x}$
$= 2$

2. 如果$a - b = 3$,那么代数式$(\frac{b^{2}}{a}-a)\cdot\frac{2a}{a + b}$的值为()
A. $-6$
B. $-3$
C. $3$
D. $6$

A

$\begin{aligned}(\frac{b^{2}}{a}-a)\cdot\frac{2a}{a + b}&=\left(\frac{b^{2}}{a}-\frac{a^{2}}{a}\right)\cdot\frac{2a}{a + b}\\&=\frac{b^{2}-a^{2}}{a}\cdot\frac{2a}{a + b}\\&=\frac{(b - a)(b + a)}{a}\cdot\frac{2a}{a + b}\\&=(b - a)\cdot2\\&=- (a - b)\cdot2\end{aligned}$
因为$a - b = 3$，所以原式$=-3×2=-6$

3. 若$2ab + 2b^{2}-1 = 0$,则代数式$(1+\frac{2ab + b^{2}}{a^{2}})÷\frac{a + b}{a^{2}b}$的值为。

$\frac{1}{2}$

先化简代数式，括号内通分：$1+\frac{2ab + b^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}+2ab + b^{2}}{a^{2}}=\frac{(a + b)^{2}}{a^{2}}$；再将除法转化为乘法：$\frac{(a + b)^{2}}{a^{2}}÷\frac{a + b}{a^{2}b}=\frac{(a + b)^{2}}{a^{2}}×\frac{a^{2}b}{a + b}=b(a + b)=ab + b^{2}$。由已知$2ab + 2b^{2}-1 = 0$得$2(ab + b^{2})=1$，即$ab + b^{2}=\frac{1}{2}$。

4. 化简：
(1)$(x-\frac{1 + x}{1 - x})(\frac{2}{1 + x^{2}}-1)$。
(2)$\frac{x - 3}{x^{2}-8x + 16}÷\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-16}-\frac{1}{x - 4}$。
(3)$(m - 1-\frac{3}{m + 1})÷\frac{m + 2}{m^{2}+m}$。
(4)(2024·泸州)$(\frac{y^{2}}{x}+x - 2y)÷\frac{x^{2}-y^{2}}{x}$。

(1)$-x - 1$；(2)$\frac{4}{x^2 - 4x}$；(3)$m^2 - 2m$；(4)$\frac{x - y}{x + y}$

(1) 原式$=[\frac{x(1 - x)}{1 - x}-\frac{1 + x}{1 - x}](\frac{2}{1 + x^2}-\frac{1 + x^2}{1 + x^2})$
$=\frac{x - x^2 - 1 - x}{1 - x}\cdot\frac{2 - 1 - x^2}{1 + x^2}$
$=\frac{-x^2 - 1}{1 - x}\cdot\frac{1 - x^2}{1 + x^2}$
$=\frac{-(x^2 + 1)}{1 - x}\cdot\frac{(1 - x)(1 + x)}{1 + x^2}$
$=-(1 + x)=-x - 1$
(2) 原式$=\frac{x - 3}{(x - 4)^2}\cdot\frac{(x - 4)(x + 4)}{x(x - 3)}-\frac{1}{x - 4}$
$=\frac{x + 4}{x(x - 4)}-\frac{x}{x(x - 4)}$
$=\frac{x + 4 - x}{x(x - 4)}=\frac{4}{x^2 - 4x}$
(3) 原式$=[\frac{(m - 1)(m + 1)}{m + 1}-\frac{3}{m + 1}]\cdot\frac{m(m + 1)}{m + 2}$
$=\frac{m^2 - 1 - 3}{m + 1}\cdot\frac{m(m + 1)}{m + 2}$
$=\frac{(m - 2)(m + 2)}{m + 1}\cdot\frac{m(m + 1)}{m + 2}=m(m - 2)=m^2 - 2m$
(4) 原式$=(\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{x}-\frac{2xy}{x})\cdot\frac{x}{(x - y)(x + y)}$
$=\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x}\cdot\frac{x}{(x - y)(x + y)}$
$=\frac{(x - y)^2}{x}\cdot\frac{x}{(x - y)(x + y)}=\frac{x - y}{x + y}$