9. 如图,李明同学在东西方向的滨海路$A$处,测得海中灯塔$P在北偏东60^{\circ}$方向上,他向东走至$B$处,测得灯塔$P在北偏东30^{\circ}$方向上,则从灯塔$P观测A$,$B$两处的视角的度数是 ()

A.$30^{\circ}$
B.$32^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

A

过点P作PC⊥AB交AB延长线于点C。
在A处，灯塔P在北偏东60°方向，∴∠PAC=90°-60°=30°。
在B处，灯塔P在北偏东30°方向，∴∠PBC=90°-30°=60°。
在△PAB中，∠PBC是△PAB的外角，∴∠PBC=∠PAC+∠APB。
即60°=30°+∠APB，∴∠APB=30°。

10. 如图,$BD是\angle ABC$的平分线,$AD\perp BD$,垂足为$D$,$\angle DAC = 20^{\circ}$,$\angle C = 38^{\circ}$,则$\angle BAD$的度数为 ()

A.$58^{\circ}$
B.$64^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$56^{\circ}$

A

设$\angle ABD = \angle DBC = x$。
在$\triangle ADC$中，$\angle DAC = 20^{\circ}$，$\angle C = 38^{\circ}$，
$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle DAC - \angle C = 180^{\circ}-20^{\circ}-38^{\circ}=122^{\circ}$。
因为$AD\perp BD$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，
$\angle BDC = 180^{\circ}-\angle ADC = 180^{\circ}-122^{\circ}=58^{\circ}$。
在$\triangle BDC$中，$\angle DBC + \angle C + \angle BDC = 180^{\circ}$，
$x + 38^{\circ}+58^{\circ}=180^{\circ}$，解得$x = 84^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$，
$\angle BAD + 84^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$，解得$\angle BAD = 6^{\circ}$。
1

11. 在探究证明“三角形的内角和是$180^{\circ}$”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形的内角和是$180^{\circ}$”的是 ()

A.图1中,延长$AC至点F$,过点$C作CE// AB$
B.图2中,过点$C作EF// AB$
C.图3中,作$CD\perp AB$,垂足为$D$
D.图4中,过点$D作DE// BC$,$DF// AC$

C

选项A：延长AC至F，作CE//AB，由CE//AB得∠A=∠ECF（同位角），∠B=∠ECD（内错角），∠ACB+∠ECD+∠ECF=180°（平角），可证内角和180°；
选项B：过C作EF//AB，由EF//AB得∠A=∠ACE（内错角），∠B=∠BCF（内错角），∠ACE+∠ACB+∠BCF=180°（平角），可证；
选项C：作CD⊥AB，得Rt△ACD和Rt△BCD，若用∠A+∠ACD=90°、∠B+∠BCD=90°相加得证，需依赖直角三角形锐角互余，而该结论是内角和定理的推论，属循环论证，无法独立证明；
选项D：过D作DE//BC、DF//AC，由DE//BC得∠ADE=∠B，DF//AC得∠BDF=∠A，四边形DECF为平行四边形得∠EDF=∠C，∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°（平角），可证。

12. 在$\triangle ABC$中,如果$\angle A = \angle B = 4\angle C$,那么$\angle C = $$^{\circ}$。

$20$

设$\angle C = x^{\circ}$，则$\angle A = \angle B = 4x^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，有$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，即$4x + 4x + x = 180$，$9x=180$，解得$x = 20$。
所以$\angle C = 20^{\circ}$。

13. 如图,$\angle 1 = \angle 2$,$\angle 3 = \angle 4$,$\angle A = 100^{\circ}$,求$x$的值.

在$\bigtriangleup ABC$中，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
已知$\angle A = 100^{\circ}$，
则$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A=180^{\circ} - 100^{\circ}=80^{\circ}$。
因为$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$，
且$\angle ABC = \angle 1+\angle 2$，$\angle ACB=\angle 3+\angle 4$，
所以$\angle 2+\angle 4=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}×80^{\circ}=40^{\circ}$。
在$\bigtriangleup BCD$中，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
$x = 180^{\circ}-(\angle 2+\angle 4)=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$。
故$x$的值为$140$。