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1. 把一个平面图形绕着平面内某一点 $O$ 转动一个角度,叫做图形的
旋转
。答案
旋转
解析
根据图形旋转的定义可知，把一个平面图形绕着平面内某一点$O$转动一个角度，叫做图形的旋转。
2. 图形旋转的性质：旋转前后的图形
全等
；对应点到旋转中心的距离相等
；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
。答案
全等；相等；旋转角
解析
根据图形旋转的性质直接填写。旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
思考 旋转的三个要素是什么？
练习(1)如果图形上的点 $P$ 经过旋转变为点 $P'$,那么这两点叫做这个旋转的
(2)如图,$\triangle ABC$ 绕着点 $O$ 旋转到 $\triangle DEF$ 的位置,则旋转中心是
旋转中心、旋转方向、旋转角度
练习(1)如果图形上的点 $P$ 经过旋转变为点 $P'$,那么这两点叫做这个旋转的
对应点
。(2)如图,$\triangle ABC$ 绕着点 $O$ 旋转到 $\triangle DEF$ 的位置,则旋转中心是
点O
,旋转角是∠AOD（或∠BOE或∠COF）
,$AO= $DO
,$AB= $DE
,$\angle ACB= $∠DFE
。答案
思考：旋转中心、旋转方向、旋转角度；(1)对应点；(2)点O；∠AOD（或∠BOE或∠COF）；DO；DE；∠DFE
解析
思考：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
练习(1)：对应点。
(2)：由图可知，旋转中心是点O；旋转角是∠AOD（或∠BOE或∠COF）；根据旋转性质，对应点到旋转中心距离相等，对应线段相等，对应角相等，所以AO=DO，AB=DE，∠ACB=∠DFE。
练习(1)：对应点。
(2)：由图可知，旋转中心是点O；旋转角是∠AOD（或∠BOE或∠COF）；根据旋转性质，对应点到旋转中心距离相等，对应线段相等，对应角相等，所以AO=DO，AB=DE，∠ACB=∠DFE。
探究一 旋转的概念
例 1 如图 1,$\triangle ABC$ 为等边三角形,$D$ 为 $\triangle ABC$ 内一点,$\triangle ABD$ 经过旋转后到达 $\triangle ACP$ 的位置,则：(1)旋转中心是
名师导引 对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角,找准旋转角是解决问题的关键。
例 1 如图 1,$\triangle ABC$ 为等边三角形,$D$ 为 $\triangle ABC$ 内一点,$\triangle ABD$ 经过旋转后到达 $\triangle ACP$ 的位置,则：(1)旋转中心是
点$A$
；(2)旋转角度是$60°$
；(3)$\triangle ADP$ 是等边
三角形。名师导引 对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角,找准旋转角是解决问题的关键。
答案
(1)点$A$；(2)$60°$；(3)等边
解析
(1)由$\triangle ABD$旋转后到达$\triangle ACP$的位置，对应点$B$与$C$、$D$与$P$均绕点$A$旋转，故旋转中心是点$A$；
(2)$\triangle ABC$为等边三角形，$\angle BAC=60°$，旋转角为$\angle BAC$，即旋转角度是$60°$；
(3)由旋转性质得$AD=AP$，旋转角$\angle DAP=60°$，所以$\triangle ADP$是等边三角形。
(2)$\triangle ABC$为等边三角形，$\angle BAC=60°$，旋转角为$\angle BAC$，即旋转角度是$60°$；
(3)由旋转性质得$AD=AP$，旋转角$\angle DAP=60°$，所以$\triangle ADP$是等边三角形。
变式训练(1)如图 2,$\triangle AOB$ 旋转到 $\triangle A'OB'$ 的位置。$\angle AOA' = 90^{\circ}$,则旋转中心是点
(2)如图 3,$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 都是等腰直角三角形,$\angle C$ 和 $\angle AED$ 都是直角,点 $E$ 在 $AB$ 上,如果 $\triangle ABC$ 经旋转后能与 $\triangle ADE$ 重合,那么旋转中心是点
O
,旋转角是90°
。点 $A$ 的对应点是A'
,线段 $AB$ 的对应线段是A'B'
,$\angle B$ 的对应角是∠B'
,$\angle BOB' = $90°
。(2)如图 3,$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 都是等腰直角三角形,$\angle C$ 和 $\angle AED$ 都是直角,点 $E$ 在 $AB$ 上,如果 $\triangle ABC$ 经旋转后能与 $\triangle ADE$ 重合,那么旋转中心是点
A
,旋转的度数是45°
。答案
(1) O；90°；A'；A'B'；∠B'；90°
(2) A；45°
(2) A；45°
解析
(1) 由旋转定义，对应点连线的垂直平分线交点为旋转中心，图中O为固定点，故旋转中心是点O；旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，∠AOA'=90°，所以旋转角是90°；点A对应点为A'；线段AB对应线段为A'B'；∠B对应角为∠B'；因旋转角相等，∠BOB'=∠AOA'=90°。
(2) △ABC旋转后与△ADE重合，A为公共点且位置不变，故旋转中心是点A；△ABC与△ADE是等腰直角三角形，∠C=∠AED=90°，则∠CAB=∠DAE=45°，旋转角为∠CAE=45°。
(2) △ABC旋转后与△ADE重合，A为公共点且位置不变，故旋转中心是点A；△ABC与△ADE是等腰直角三角形，∠C=∠AED=90°，则∠CAB=∠DAE=45°，旋转角为∠CAE=45°。
探究二 旋转的性质
例 2(2024 巴南区阶段练习改编)如图,$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,$\angle ABC = \alpha$,将 $Rt\triangle ABC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $Rt\triangle EDC$,点 $A$ 的对应点 $E$ 正好落在 $BC$ 上,连接 $BD$,则 $\angle CBD$ 的度数是
名师导引 注意运用旋转的性质：旋转前后的三角形全等,即旋转前后的三角形对应线段相等,对应角相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角相等。
例 2(2024 巴南区阶段练习改编)如图,$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,$\angle ABC = \alpha$,将 $Rt\triangle ABC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $Rt\triangle EDC$,点 $A$ 的对应点 $E$ 正好落在 $BC$ 上,连接 $BD$,则 $\angle CBD$ 的度数是
45°+α/2
。名师导引 注意运用旋转的性质：旋转前后的三角形全等,即旋转前后的三角形对应线段相等,对应角相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角相等。
答案
45°+α/2
解析
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=α，∴∠ACB=90°-α。
由旋转性质得：Rt△ABC≌Rt△EDC，∴CB=CD（对应边相等），∠ACB=∠ECD=90°-α（对应角相等），旋转角∠BCD=∠ACB=90°-α。
∵CB=CD，∴△CBD为等腰三角形，∠CBD=∠CDB。
在△CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，又∠CBD=∠CDB，∠BCD=90°-α，
∴2∠CBD+（90°-α）=180°，解得∠CBD=(180°-90°+α)/2=(90°+α)/2=45°+α/2。
由旋转性质得：Rt△ABC≌Rt△EDC，∴CB=CD（对应边相等），∠ACB=∠ECD=90°-α（对应角相等），旋转角∠BCD=∠ACB=90°-α。
∵CB=CD，∴△CBD为等腰三角形，∠CBD=∠CDB。
在△CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，又∠CBD=∠CDB，∠BCD=90°-α，
∴2∠CBD+（90°-α）=180°，解得∠CBD=(180°-90°+α)/2=(90°+α)/2=45°+α/2。
