例1 如图4-1所示,D为△ABC的边AB上一点,E是AC上的一点.若以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,且AB= 8,AC= 6,AD= 4,求AE的长.
【思路点拨】△ADE与△ABC有一个公共角∠A,若△ADE与△ABC相似,则夹这个角的两边对应成比例,有两种情况,如图4-2、图4-3所示.

【解】情况一：如图4-2所示,当DE//BC时,由$\frac{AD}{AB}= \frac{AE}{AC}$,得AE= 3.

情况二：如图4-3所示,当DE不平行于BC时,由$\frac{AD}{AC}= \frac{AE}{AB}$,得$AE= \frac{16}{3}$.

【反思】本题运用“两边对应成比例及其夹角对应相等”的判定方法,需考虑两边对应的不同情况,渗透了分类讨论的思想.要认真总结这两个图形.本题的实质也可归结为“两个角对应相等的两个三角形相似”.

解：情况一：当△ADE∽△ABC时，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
则$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∵AB=8，AC=6，AD=4，
∴$\frac{4}{8}=\frac{AE}{6}$，
解得AE=3。
情况二：当△AED∽△ABC时，∠AED=∠B，∠ADE=∠C，
则$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵AB=8，AC=6，AD=4，
∴$\frac{4}{6}=\frac{AE}{8}$，
解得AE=$\frac{16}{3}$。
综上，AE的长为3或$\frac{16}{3}$。