22. (本小题 10 分)如图,在△ABC 中,AC= 2AB,AD 平分∠BAC,延长 CB 到点 E,使 BE= BD,连接 AE.
(1) 依题意补全图形;
(2) 试判断 AE 与 CD 的数量关系,并进行证明.

（1）补全图形如下：
（2）AE=CD。
证明：在AC上截取AF=AB，连接DF。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠FAD。
在△ABD和△AFD中，
$\begin{cases}AB=AF \\\angle BAD=\angle FAD \\AD=AD\end{cases}$
∴△ABD≌△AFD(SAS)。
∴BD=FD，∠ABD=∠AFD。
∵AC=2AB，AF=AB，
∴FC=AB。
∵BE=BD，BD=FD，
∴BE=FD。
∵∠ABD=∠AFD，∠ABD+∠ABE=180°，∠AFD+∠CFD=180°，
∴∠ABE=∠CFD。
在△ABE和△CFD中，
$\begin{cases}AB=CF \\\angle ABE=\angle CFD \\BE=FD\end{cases}$
∴△ABE≌△CFD(SAS)。
∴AE=CD。

23. (本小题 10 分)将两张完全相同的直角三角形纸片 ABC 和直角三角形纸片 DEC 按如图①所示的方式放置,其中∠DCE= ∠ACB= 90°,∠B= ∠E= 30°.
(1) 如图②,当点 D 在边 AB 上时,连接 AE.
① 线段 DE 与 AC 的位置关系是______;
② 设△BDC 的面积为$S_{1}$,△AEC 的面积为$S_{2}$,则$S_{1}与S_{2}$的数量关系是______.
(2) 当点 D 在图③所示的位置时,连接 AD,BD,AE,(1)中$S_{1}与S_{2}$的数量关系是否仍然成立?请证明你的猜想.

(1)①平行
②$S_{1}=S_{2}$
(2)成立，证明如下：
设$AC=CD=a$，$\angle BCD=\theta$，则$\angle ACE=90^{\circ}-\theta$
$S_{1}=\frac{1}{2}BC\cdot CD\cdot\sin\theta=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}a\cdot a\cdot\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\sin\theta$
$S_{2}=\frac{1}{2}AC\cdot CE\cdot\sin(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt{3}a\cdot\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\cos\theta$
由$\theta + (90^{\circ}-\theta)=90^{\circ}$，得$\sin\theta=\cos(90^{\circ}-\theta)$，故$S_{1}=S_{2}$