13. 抛物线 $y= ax^{2}$ 与直线 $y= bx+c$ 的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则方程 $ax^{2}= bx+c$ 的解是。

$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$（按照题目要求这里应理解为填写对应选项，如果选项中表示该解的为对应项则选之，假设选项合理设置，此处答案形式对应选项为包含$-2$和$1$的选项）。

已知抛物线$y = ax^{2}$与直线$y = bx + c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，这意味着当$x=-2$和$x = 1$时，$ax^{2}=bx + c$成立。
根据方程的解与函数交点横坐标的关系，方程$ax^{2}=bx + c$的解就是抛物线$y = ax^{2}$与直线$y = bx + c$交点的横坐标。
所以方程$ax^{2}=bx + c$的解为$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$。

14. 将抛物线 $y= x^{2}+(a+1)x+a$ 向上平移 2 个单位长度,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是.

2

原抛物线 $ y = x^2 + (a + 1)x + a $ 向上平移 2 个单位后解析式为 $ y = x^2 + (a + 1)x + a + 2 $。对于二次函数 $ y = Ax^2 + Bx + C $，顶点纵坐标公式为 $ \frac{4AC - B^2}{4A} $，这里 $ A = 1 $，$ B = a + 1 $，$ C = a + 2 $。代入得顶点纵坐标为 $ \frac{4(a + 2) - (a + 1)^2}{4} $，化简分子：$ 4a + 8 - (a^2 + 2a + 1) = -a^2 + 2a + 7 $，故顶点纵坐标为 $ \frac{-a^2 + 2a + 7}{4} $。对 $ -a^2 + 2a + 7 $ 配方得 $ -(a - 1)^2 + 8 $，其最大值为 8，因此顶点纵坐标最大值为 $ \frac{8}{4} = 2 $。

15. 已知二次函数 $y= -x^{2}+8x+3$,当 $x＞m$ 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的值可以是.(写一个即可)

4

对于二次函数$y=-x^2 + 8x + 3$，其中$a=-1$，$b=8$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-1)}=4$。因为$a=-1\lt0$，抛物线开口向下，所以当$x\gt4$时，$y$随$x$的增大而减小。故$m$的值可以是$4$（答案不唯一，大于等于$4$即可）。

16. 如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB,喷水口 A 距地面 2 m,喷出水流的运动路线是抛物线.若水流的最高点 P 到喷水枪 AB 所在直线的距离为 2 m,且到地面的距离为 3 m,则水流的落地点 C 到水枪底部 B 的距离为m.

2+2√3

以水枪底部B为原点，地面为x轴，AB所在直线为y轴建立直角坐标系。则A(0,2)，最高点P(2,3)。设抛物线解析式为y=a(x-2)²+3，将A(0,2)代入得2=a(0-2)²+3，解得a=-1/4。故解析式为y=-1/4(x-2)²+3。令y=0，得-1/4(x-2)²+3=0，解得x=2+2√3（负值舍去）。所以BC=2+2√3。

17. 若二次函数 $y= -x^{2}+mx$ 在 $-1≤x≤2$ 时的最大值为 3,则 m 的值是.

$-4$或$2\sqrt{3}$（填写形式如：“-4或2√3”）

二次函数$y = -x^2 + mx$的对称轴为$x = \frac{m}{2}$，由于二次项系数为负，抛物线开口向下。
分三种情况讨论：
当$\frac{m}{2} \leq -1$，即$m \leq -2$时，
在区间$[-1, 2]$上，函数是递减的。
因此，最大值出现在$x = -1$，即$y = -1 - m = 3$，
解得$m = -4$。
当$-1 ＜ \frac{m}{2} ＜ 2$，即$-2 ＜ m ＜ 4$时，
最大值出现在对称轴上，即$x = \frac{m}{2}$，
此时$y = \frac{m^2}{4} = 3$，
解得$m = \pm 2\sqrt{3}$。
由于$-2 ＜ m ＜ 4$，所以$m = 2\sqrt{3}$。
当$\frac{m}{2} \geq 2$，即$m \geq 4$时，
在区间$[-1, 2]$上，函数是递增的。
因此，最大值出现在$x = 2$，即$y = -4 + 2m = 3$，
解得$m = \frac{7}{2}$（舍去，因为不满足$m \geq 4$）。
综合以上三种情况，$m$的可能值为$-4$或$2\sqrt{3}$。

18. 已知抛物线 $y= ax^{2}+bx+c$ 的顶点坐标为 $(-\frac{1}{2},m)$,其中 $m＞0$,与 x 轴的一个交点位于(0,0)和(1,0)之间.有下列结论:① $b＜0$;② $2b+c＞0$;③ 若该抛物线经过点 $(-2,y_{1})$ 和 $(2,y_{2})$,则 $y_{1}＞y_{2}$;④ 若关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c-2= 0$ 无实数根,则 $m＞2$.其中正确的结论是.(填序号)

①③

已知抛物线顶点坐标为$(-\frac{1}{2},m)$，$m＞0$，与$x$轴交于两点，故抛物线开口向下，即$a＜0$。对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，得$b=a$，则$b=a＜0$，①正确。
抛物线与$x$轴一个交点在$(0,1)$之间，由对称性知另一个交点在$(-2,-1)$之间。设$0＜x_1＜1$为交点，则$f(1)=a+b+c=2a+c＜0$（开口向下，$x=1$在交点右侧，函数值小于0），又$b=a$，故$2b+c=2a+c＜0$，②错误。
点$(-2,y_1)$与$(2,y_2)$到对称轴距离分别为$\frac{3}{2}$和$\frac{5}{2}$，开口向下时，离对称轴越近函数值越大，故$y_1＞y_2$，③正确。
方程$ax^2+bx+c-2=0$无实根，即抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=2$无交点，因抛物线最大值为$m$，则$m＜2$，④错误。

19. (本小题 6 分)在平面直角坐标系中,已知抛物线 $y= x^{2}+bx+c$ 经过 A(3,0)和 B(0,-3)两点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 若点 C 在抛物线上,且不与点 B 重合.过点 A 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 P.若点 P 位于点 A 的上方,则点 C 的横坐标 $x_{c}$ 的取值范围是______.
(1) y=x²-2x-3
(2) x_c＞3

(1) 将点A(3,0)和B(0,-3)代入抛物线y=x²+bx+c，得：
$\begin{cases}0=3^2+3b+c \\-3=0+0+c\end{cases}$
由第二个方程得c=-3，代入第一个方程：0=9+3b-3，解得b=-2。
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3。
(2) 设点C(x_c,y_c)，C在抛物线上且不与B重合，故y_c=x_c²-2x_c-3，x_c≠0。
直线BC过点B(0,-3)，斜率k=(y_c+3)/x_c=(x_c²-2x_c)/x_c=x_c-2（x_c≠0）。
直线BC方程：y=(x_c-2)x-3。
过A作x轴垂线为x=3，与BC交于点P(3,y_p)，则y_p=3(x_c-2)-3=3x_c-9。
∵点P在A上方，∴y_p＞0，即3x_c-9＞0，解得x_c＞3。
(1) y=x²-2x-3
(2) x_c＞3