23. (本小题 12 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,$\widehat{BC}= \widehat{BD}$,DE⊥AC 于点 E,直线 DE 交 BF 于点 F,交 AB 于点 G,∠BOD= 2∠F,连接 BD.
(1) 求证:BF 是⊙O 的切线;
(2) 判断△DGB 的形状,并说明理由;
(3) 当 BD= 2 时,求 FG 的长.

(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，∴∠BAC=∠BAD=α，∠BOD=2∠BAD=2α。∵∠BOD=2∠F，∴∠F=α。∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠AGE=90°-α。∵∠AGE=∠BGF，∴∠BGF=90°-α。在△BGF中，∠GBF=180°-∠F-∠BGF=180°-α-(90°-α)=90°，∴OB⊥BF。∵OB是⊙O半径，∴BF是⊙O的切线。
(2) △DGB是等腰三角形。理由：∵∠ADB=90°，∠BAD=α，∴∠DBG=90°-α。∵∠DGB=∠BGF=90°-α，∴∠DBG=∠DGB，∴DG=DB，∴△DGB是等腰三角形。
(3) ∵BD=2，DG=DB=2。由(1)知∠F=α，∠BOD=2α，OD=OB=半径r。∵∠ADB=90°，BD=2，AB=2r，∴sinα=BD/AB=2/(2r)=1/r。∵∠BOD=2α，在Rt△OBF中，∠OBF=90°，∠F=α，tanα=OB/BF=r/BF，sinα=OB/OF=r/OF。∵∠BOD=2α，OD=OB=r，△OBD中，BD²=OB²+OD²-2OB·ODcos2α=2r²(1-cos2α)=4r²sin²α，∴BD=2rsinα=2，即2r·(1/r)=2，成立。∴sinα=1/2，α=30°，r=2。∴AB=4，OB=2。在Rt△OBF中，∠F=30°，OB=2，∴OF=2OB=4。∵G与O重合（AB中点），∴FG=OF=4。
FG=4。