3. 如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点$A$,$B$,$C$都在格点上,以$AB为直径的圆经过点C$,$D$,则$\cos\angle ADC$的值为()

A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

B

设网格中小正方形边长为1，建立坐标系得各点坐标：A(1,1)，B(4,3)，C(1,3)，D(4,1)。
由圆周角定理，∠ADC=∠ABC（同弧AC所对圆周角相等）。
AB为直径，故∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，AC=2，BC=3，AB=√(3²+2²)=√13。
cos∠ABC=BC/AB=3/√13=3√13/13，即cos∠ADC=3√13/13。

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90°$,$CD为边AB$上的中线,过点$A作AE \perp CD交BC于点E$.如果$AC = 2$,$BC = 4$,那么$\tan\angle CAE$的值为.

$\frac{1}{2}$ (若为填空题直接填数值，本题按要求若为选择则假设对应选项为选项对应关系下的答案形式，这里按题目要求格式填数值相关规范答案形式，若本题在题设环境下为填空题性质作答则答案为$\frac{1}{2}$ )

在$Rt\triangle ABC$中，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$BC = 4$，
根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为$CD$是边$AB$上的中线，所以$D$为$AB$中点，则$CD = \frac{1}{2}AB=AD$，
所以$\angle CAD = \angle ACD$。
因为$AE\perp CD$，在$Rt\triangle ACE$中，$\angle CAE + \angle ACD=90^{\circ}$，
又因为$\angle CAB+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle CAD = \angle ACD$，
所以$\angle B=\angle CAE$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
所以$\tan\angle CAE=\frac{1}{2}$。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90°$,$\tan A = \frac{1}{2}$,$D是边AC$上一点,$\angle CBD = \angle A$,求$\cos\angle CDB$的值.

设$BC = x$，
因为$\tan A = \frac{1}{2}$，
根据正切函数的定义$\tan A=\frac{BC}{AC}$，
所以$AC = 2x$。
因为$\angle CBD = \angle A$，
所以$\tan\angle CBD=\tan A = \frac{1}{2}$，
在$Rt\triangle BCD$中，根据正切函数的定义$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BC}$，
即$\frac{CD}{x}=\frac{1}{2}$，
所以$CD=\frac{1}{2}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BD = \sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{x^{2}+(\frac{1}{2}x)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$。
根据余弦函数的定义$\cos\angle CDB=\frac{CD}{BD}$，
把$CD = \frac{1}{2}x$，$BD=\frac{\sqrt{5}}{2}x$代入可得：
$\cos\angle CDB=\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
综上，$\cos\angle CDB$的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$。