例 1 如图,点 A,F,C,D 在同一条直线上,点 B 和点 E 在直线 AD 的两侧,且 AF = DC,BC//EF,∠A = ∠D. 求证：AB = DE.

证明：
因为$BC// EF$，
根据两直线平行，内错角相等，
得$\angle EFD = \angle BCA$。
因为$AF = DC$，
所以$AF + FC = DC + FC$，
即$AC = DF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}\angle A = \angle D, \\AC = DF, \\\angle BCA = \angle EFD.\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）判定定理，
得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
所以$AB = DE$。

变式训练 如图,AB = AE,∠1 = ∠2,∠B = ∠E.
求证：BC = ED.

证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中，
∠B=∠E，
AB=AE，
∠BAC=∠EAD，
∴△ABC≌△AED（ASA）。
∴BC=ED。

例 2 如图,在△ABC 和△BDE 中,∠ABC = ∠D = 90°,AC⊥BE 于点 F,BC = DE.
求证：AC = BE.

证明：
∵AC⊥BE，∠ABC=90°，
∴∠BFC=∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠FBC=90°，∠EBD+∠FBC=90°，
∴∠ACB=∠EBD.
在△ABC和△BDE中，
∠ABC=∠D=90°，
BC=DE，
∠ACB=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（ASA），
∴AC=BE.

变式训练 如图,在△CDE 中,∠DCE = 90°,DC = CE. 又 DA⊥AB 于 A,EB⊥AB 于 B,C 在 AB 上. 试判断 AB 与 AD,BE 之间的数量关系,并加以证明.

AB = AD + BE
证明：
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A = ∠B = 90°，
∴∠ADC + ∠ACD = 90°，
∵∠DCE = 90°，
∴∠ACD + ∠ECB = 180° - 90° = 90°，
∴∠ADC = ∠ECB，
在△ADC与△CEB中，
$\begin{cases} ∠A = ∠B, \\ ∠ADC = ∠ECB, \\ DC = CE, \end{cases}$
∴△ADC ≌ △CEB (AAS)，
∴AD = BC，AC = BE，
∴AB = AC + BC = AD + BE。

1. 第 24 届国际数学家大会的会标图案如图. 其中的四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形,则△ABF≌△DAE 的理由是()

A.SSS


B.AAS
C.SAS
D.ASA

B

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAE=90°。∵四边形EFGH是正方形，∴∠AFB=∠AED=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE。在△ABF和△DAE中，∠AFB=∠DEA，∠ABF=∠DAE，AB=DA，∴△ABF≌△DAE（AAS）

2. 如图,在△AEB 和△AFC 中,∠E = ∠F = 90°,∠B = ∠C,AE = AF,EB 交 AC 于点 M,AB 交 FC 于点 N. 有下列结论：①∠1 = ∠2；②△ACN≌△ABM；③MA = MB. 其中所有正确结论的序号是()
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

A

1. 在$\triangle AEB$和$\triangle AFC$中，$\angle E = \angle F = 90^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，$AE = AF$，所以$\triangle AEB\cong \triangle AFC(A A S)$，所以$AB = AC$，$\angle EAB=\angle FAC$，
故$\angle EAB - \angle BAC=\angle FAC - \angle BAC$，即$\angle 1=\angle 2$，所以①正确。
2. 因为$\angle B = \angle C$，$AB = AC$，$\angle BAC=\angle CAB$，所以$\triangle ACN\cong \triangle ABM(A S A)$，所以②正确。
3. 虽然$\triangle ACN\cong \triangle ABM$，但并不能直接得出$MA = MB$，所以③错误。

3. 如图,点 C 在 BE 上,∠B = ∠E = ∠ACF,AC = CF,AB = 5,EF = 9,则 BE 的长为.

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∵∠B=∠E=∠ACF，点C在BE上，∴∠ACB+∠FCE=180°-∠ACF=180°-∠B。在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=∠FCE；在△CEF中，∠CFE=180°-∠E-∠FCE=∠ACB。在△ABC和△CEF中，∠BAC=∠FCE，AC=CF，∠ACB=∠CFE，∴△ABC≌△CEF（ASA）。∴AB=CE=5，BC=EF=9。∵BE=BC+CE，∴BE=9+5=14。