1. 如图,M 是Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B,C 的定点,过点 M 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,这样的直线共有()
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

C

在Rt△ABC中，∠A=90°，M为斜边BC上异于B,C的定点。
过M作AB的平行线，交AC于点D，△CDM∽△CAB。
过M作AC的平行线，交AB于点E，△BEM∽△BAC。
过M作∠AMN=∠B，交AB于点N，△ANM∽△ACB。
这样的直线共有3条。
C

2. 已知△ABC 的三边长为1,$\sqrt{3}$,2,在下列给定条件中,△DEF 与△ABC 不一定相似的是()
A.DE= 2,EF= 4,DF= 2$\sqrt{3}$
B.∠D= 30°,∠E= 90°
C.DE= 2,EF= 4,∠E= 60°
D.DE= 2,EF= 2$\sqrt{3}$,∠F= 30°

D

先判断△ABC的形状：
∵$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$
∴△ABC是直角三角形，直角边为1，$\sqrt{3}$，斜边为2
较小锐角的正弦值为$\frac{1}{2}$，故较小锐角为30°，另一个锐角为60°
A. DE=2，EF=4，DF=2$\sqrt{3}$
△ABC三边比为1:$\sqrt{3}$:2，△DEF三边比为2:2$\sqrt{3}$:4=1:$\sqrt{3}$:2，三边对应成比例，△DEF∽△ABC
B. ∠D=30°，∠E=90°
则∠F=180° - 30° - 90°=60°，与△ABC三个角对应相等，△DEF∽△ABC
C. DE=2，EF=4，∠E=60°
由余弦定理得：DF²=DE² + EF² - 2·DE·EF·cos∠E=2² + 4² - 2×2×4×cos60°=4 + 16 - 8=12，DF=2$\sqrt{3}$
三边为2，4，2$\sqrt{3}$，比为1:$\sqrt{3}$:2，与△ABC三边对应成比例，△DEF∽△ABC
D. DE=2，EF=2$\sqrt{3}$，∠F=30°
由正弦定理$\frac{DE}{\sin F} = \frac{EF}{\sin D}$，即$\frac{2}{\sin 30°} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin D}$，$\sin D = \frac{2\sqrt{3}×\sin 30°}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
∠D=60°或120°，当∠D=60°时，∠E=90°，与△ABC相似；当∠D=120°时，∠E=30°，与△ABC不相似，故△DEF与△ABC不一定相似
D

3. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,CD 为边 AB 上的中线,G 为△ABC 的重心.若 AC= 12,BC= 16,则 DG 的长为.

DG的长为$\frac{10}{3}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=12$，$BC=16$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{12^2 + 16^2}=20$。
因为$CD$为边$AB$上的中线，所以$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20 = 10$。
又因为$G$为$\triangle ABC$的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为$2:1$，所以$CG=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}×10=\frac{20}{3}$。
则$DG=CD - CG=10 - \frac{20}{3}=\frac{10}{3}$。
$\frac{10}{3}$

4. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,连接 AD,BD,BD 与 AC 交于点 E,请写出图中所有与△ADE 相似的三角形:.

【解析】：
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠DAC=∠DBC（等弧所对圆周角相等）。
∵∠AED=∠BEC（对顶角相等），
∴在△ADE和△BCE中，∠DAE=∠CBE，∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE（AA）。
【答案】：△BCE

5. 如图,等边三角形 ABC 的边长为4,P 为边 BC 上一点,D 为边 AC 上一点,∠APD= 60°.
(1)求证:△BAP∽△CPD；
(2)若 BP= 1,求 CD 的长.

(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
根据相似三角形的判定定理：两角对应相等，两个三角形相似，
∴△BAP∽△CPD。
(2)∵△BAP∽△CPD，
∴$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CD}$，
∵$AB=4$，$BP=1$，$BC=4$，
∴$CP=BC-BP=4-1=3$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{1}{CD}$，
解得$CD=\frac{3}{4}$。

6. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,AD 的垂直平分线交 AD 于点 E,交 BC 的延长线于点 F.
(1)判断△AFC 与△BFA 是否相似,并说明理由；
(2)DF 是 FB,FC 的比例中项吗？为什么？

(1)△AFC∽△BFA，理由如下：
∵EF垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠FDA是△ABD的外角，∴∠FDA=∠B+∠BAD．
∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∴∠B+∠BAD=∠CAD+∠CAF．
又∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B．
∵∠AFC=∠BFA（公共角），∴△AFC∽△BFA．
(2)DF是FB，FC的比例中项，理由如下：
由(1)知△AFC∽△BFA，∴$\frac{AF}{BF}=\frac{FC}{AF}$，即$AF^2=FB\cdot FC$．
∵FA=FD，∴$DF^2=FB\cdot FC$，∴DF是FB，FC的比例中项．