6. 如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC= ∠DAE= 90°,AB= AC,AD= AE,C,D,E三点在同一条直线上,连结BD。

(1)求证:△BAD≌△CAE。
(2)试猜想BD,CE有何特殊位置关系,并证明。

(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)。
(2)猜想：BD⊥CE。证明：∵△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠AEC。∵AD=AE，∠DAE=90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=∠AED=45°，∴∠AEC=∠AED=45°，∴∠ADB=45°。∵∠BDE=∠ADB+∠ADE=45°+45°=90°，又∵C，D，E三点共线，∴BD⊥CE。

7. 如图,点A,D,C,E在同一条直线上,AB//EF,AB= EF,AD= EC,AE= 10,AC= 7,则CD的长为()

A.3
B.4.5
C.4
D.5.5

C

∵AD=EC，
∴AD+DC=EC+DC，即AC=ED。
∵AE=10，AC=7，
∴ED=7，
∴CD=AC+ED - AE=7+7 - 10=4。
C

8. 如图,BE⊥AC于点D,且AD= CD,BD= ED,若∠ABC= 54°,则∠E的度数为()

A.25°
B.27°
C.30°
D.45°

B

∵BE⊥AC，
∴∠ADB=∠CDE=90°。
在△ADB和△CDE中，
AD=CD，∠ADB=∠CDE，BD=ED，
∴△ADB≌△CDE（SAS）。
∴∠ABD=∠E。
∵AD=CD，BE⊥AC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC=1/2×54°=27°，
∴∠E=27°。
B

9. 如图,已知AD是∠BAC的平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,还需添加一个条件,这个条件可以是。

AE=AF（或∠AED=∠AFD或∠ADE=∠ADF）

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠FAD。AD=AD（公共边）。若添加AE=AF，则可根据SAS判定△AED≌△AFD；若添加∠AED=∠AFD，则可根据AAS判定△AED≌△AFD；若添加∠ADE=∠ADF，则可根据ASA判定△AED≌△AFD。

10. 在△ABC中,AB= 6,AC= 2,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是。

1. 首先，延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$：
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中：
$\left\{\begin{array}{l}CD = BD\\\angle ADC=\angle EDB\\AD = ED\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADC\cong\triangle EDB$。
由全等三角形的性质可知$BE = AC$。
2. 然后，已知$AC = 2$，$AB = 6$，所以$BE = 2$：
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。即$\vert AB - BE\vert\lt AE\lt AB + BE$。
把$AB = 6$，$BE = 2$代入三边关系不等式：
先计算$AB - BE$：$6−2 = 4$；再计算$AB + BE$：$6 + 2=8$。
所以$4\lt AE\lt8$。
3. 最后，因为$AE=AD + DE$，且$DE = AD$，即$AE = 2AD$：
由$4\lt2AD\lt8$，不等式两边同时除以$2$，得到$2\lt AD\lt4$。
故$AD$的取值范围是$2\lt AD\lt4$。

延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=ED \\ ∠ADC=∠EDB \\ CD=BD\end{array}\right.$
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴BE=AC=2。
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∵AB=6，BE=2，
∴6-2＜AE＜6+2，即4＜AE＜8。
∵AE=2AD，
∴4＜2AD＜8，
∴2＜AD＜4。
2＜AD＜4