7. 如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 5,线段 PQ= AB,P,Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AO 上运动,当 AP= 时,△ABC 和△PQA 全等。

5或10

∵AO⊥AC，∠C=90°，
∴∠PAQ=∠C=90°。
情况一：当AP=BC时，
∵AP=BC=5，PQ=AB，
∴Rt△PQA≌Rt△BAC（HL）。
情况二：当AP=AC时，
∵AP=AC=10，PQ=AB，
∴Rt△QPA≌Rt△ABC（HL）。
5或10

8. 如图所示,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= BC,AD 平分∠CAB,交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E。若 AB= 6 cm,则△DBE 的周长为()

A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm

A

∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°。
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE（角平分线性质）。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∵AD=AD，CD=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
∵AC=BC，
∴AE=BC。
△DBE的周长=DE+EB+BD=CD+EB+BD=BC+EB=AE+EB=AB=6 cm。
A

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 6 cm,AC= 8 cm,按图中所示方法将△BCD 沿 BD 折叠,使点 C 落在 AB 边的点 C'处,那么△ADC'的面积是。

6

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
由勾股定理得AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$cm。
折叠后，BC'=BC=6cm，DC'=DC，∠BC'D=∠C=90°，
则AC'=AB-BC'=10-6=4cm。
设DC'=DC=xcm，则AD=(8-x)cm，
在Rt△ADC'中，由勾股定理得$AC'^2+DC'^2=AD^2$，
即$4^2+x^2=(8-x)^2$，
解得x=3，
所以△ADC'的面积为$\frac{1}{2}×AC'×DC'=\frac{1}{2}×4×3=6$cm²。
6

10. 如图,在△ABC 中,P,Q 分别是 BC,AC 上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是 R,S,PR= PS,AQ= PQ,给出下列结论：①AS= AR。②PQ//AR。③△BRP≌△CSP。其中正确的是。(填序号)

①②

∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP=∠ASP=90°。
在Rt△ARP和Rt△ASP中，AP=AP，PR=PS，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AS=AR（①正确），∠PAR=∠PAS。
∵AQ=PQ，∴∠QAP=∠QPA。
又∠QAP=∠PAR，∴∠QPA=∠PAR，∴PQ//AR（内错角相等，两直线平行，②正确）。
△BRP与△CSP中，仅PR=PS，∠BRP=∠CSP=90°，无其他对应边或角相等条件，无法判定全等（③错误）。

11. 数学兴趣小组的同学在完成一道数学题：
如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AD= BC。求证：BD= AC。
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等,从而得到 BD= AC。”
小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等,从而得到 BD= AC。”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等,来证明 BD= AC。”
你认为他们的办法可行吗？并试着证明。
]

小丽、小贾的办法可行，小雨的办法不可行。证明如下：
小丽（AAS）：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°（垂直定义）。
设AD与BC交于点O，在△AOD和△BOC中：
∠D=∠C（已证），
∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
AD=BC（已知），
∴△AOD≌△BOC（AAS）。
∴AO=BO，OD=OC（全等三角形对应边相等）。
∵BD=BO+OD，AC=AO+OC，
∴BD=AC（等量代换）。
小贾（HL）：
连接AB，在Rt△ADB和Rt△BCA中：
AB=BA（公共边，斜边），
AD=BC（已知，直角边），
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）。
∴BD=AC（全等三角形对应边相等）。
小雨（面积法）：
仅“三角形面积相等”无法直接推出BD=AC，缺少面积相等的充分条件（如全等或同底等高），故不可行。
结论： 小丽、小贾的办法可行，小雨的办法不可行。