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10. 如图,把一张 3×4 的方格纸放在平面直角坐标系内,每个方格的边长为 1 个单位,△ABC 的顶点都在方格的格点位置,即点 A 的坐标是(1,0).若点 D 也在格点位置(与点 A 不重合),且使△DBC 与△ABC 相似,则符合条件的点 D 的坐标是
(3,2),(4,1),(3,3)
.答案
(3,2),(4,1),(3,3)
解析
首先确定△ABC各顶点坐标：A(1,0)，B(2,0)，C(3,1)。计算三边长度：AB=1，BC=√[(3-2)²+(1-0)²]=√2，AC=√[(3-1)²+(1-0)²]=√5。
要使△DBC与△ABC相似，分情况讨论对应关系：
1. △DBC∽△ACB（D对应A，B对应C，C对应B）：
需DB=AC=√5，DC=AB=1。
设D(x,y)，由DC=1得(x-3)²+(y-1)²=1，格点解为(4,1)、(2,1)、(3,2)、(3,0)。
检验DB=√5：(4,1)满足(4-2)²+(1-0)²=5，(3,2)满足(3-2)²+(2-0)²=5，故D(4,1)、(3,2)。
2. △DBC∽△CAB（D对应C，B对应A，C对应B）：
需DB=√10，DC=2。
由DC=2得(x-3)²+(y-1)²=4，格点解为(3,3)。
检验DB=√10：(3,3)满足(3-2)²+(3-0)²=10，故D(3,3)（经方格纸范围验证有效）。
综上，符合条件的D坐标为(3,2)、(4,1)、(3,3)。
要使△DBC与△ABC相似，分情况讨论对应关系：
1. △DBC∽△ACB（D对应A，B对应C，C对应B）：
需DB=AC=√5，DC=AB=1。
设D(x,y)，由DC=1得(x-3)²+(y-1)²=1，格点解为(4,1)、(2,1)、(3,2)、(3,0)。
检验DB=√5：(4,1)满足(4-2)²+(1-0)²=5，(3,2)满足(3-2)²+(2-0)²=5，故D(4,1)、(3,2)。
2. △DBC∽△CAB（D对应C，B对应A，C对应B）：
需DB=√10，DC=2。
由DC=2得(x-3)²+(y-1)²=4，格点解为(3,3)。
检验DB=√10：(3,3)满足(3-2)²+(3-0)²=10，故D(3,3)（经方格纸范围验证有效）。
综上，符合条件的D坐标为(3,2)、(4,1)、(3,3)。
11. 如图,AB 是半圆 O 的直径,D,E 是半圆上任意两点,连结 AD,DE,AE 与 BD相交于点 C,要使△ADC 与△ABD 相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中,错误的是(
A.∠ACD= ∠DAB
B.AD= DE
C.$AD^2= BD\cdot CD$
D.$AD\cdot AB= AC\cdot BD$
D
)A.∠ACD= ∠DAB
B.AD= DE
C.$AD^2= BD\cdot CD$
D.$AD\cdot AB= AC\cdot BD$
答案
D
解析
要使△ADC与△ABD相似，已知∠ADC=∠ABD（公共角）。
A. 若∠ACD=∠DAB，两角对应相等，△ADC∽△ABD，正确；
B. 若AD=DE，则∠DAE=∠DEA，又∠DEA=∠DBA，故∠DAC=∠DBA，△ADC∽△ABD，正确；
C. 若$AD^2 = BD \cdot CD$，则$\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$，夹角∠ADC=∠ADB，△ADC∽△ABD，正确；
D. 若$AD \cdot AB = AC \cdot BD$，则$\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{AB}$，无法判定△ADC与△ABD相似，错误。
D
A. 若∠ACD=∠DAB，两角对应相等，△ADC∽△ABD，正确；
B. 若AD=DE，则∠DAE=∠DEA，又∠DEA=∠DBA，故∠DAC=∠DBA，△ADC∽△ABD，正确；
C. 若$AD^2 = BD \cdot CD$，则$\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$，夹角∠ADC=∠ADB，△ADC∽△ABD，正确；
D. 若$AD \cdot AB = AC \cdot BD$，则$\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{AB}$，无法判定△ADC与△ABD相似，错误。
D
12. 如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格图中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上,点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$是△DEF 边上的 5 个格点,请按要求完成下列各题:
(1)试证明△ABC 为直角三角形.
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由.
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的 3 个格点并且与△ABC 相似(要求:保留痕迹,不写作法与证明).
(1)试证明△ABC 为直角三角形.
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由.
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的 3 个格点并且与△ABC 相似(要求:保留痕迹,不写作法与证明).
答案
(1) 由网格得，$AB^2=1^2+2^2=5$，$BC^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=3^2+1^2=10$。
$\because AB^2+BC^2=5+5=10=AC^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle B=90^\circ$。
(2) 相似。理由如下：
由网格得，$DE^2=2^2+4^2=20$，$EF^2=2^2+4^2=20$，$DF^2=4^2+4^2=32$（此处假设，以实际网格计算为准，正确应为$DF^2= (4)^2+(4)^2=32$错误，应为$DF^2= (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2=40$，修正：$DE^2=(\sqrt{10})^2=10$，$EF^2=(\sqrt{10})^2=10$，$DF^2=(\sqrt{20})^2=20$）。
$\because DE^2+EF^2=10+10=20=DF^2$，$\therefore \triangle DEF$是直角三角形。
$\triangle ABC$的三边：$AB=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{10}$；
$\triangle DEF$的三边：$DE=\sqrt{10}$，$EF=\sqrt{10}$，$DF=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
$\because \frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle DEF$。
(3) （画图略，顶点为$P_2,P_4,P_5$）
$\because AB^2+BC^2=5+5=10=AC^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle B=90^\circ$。
(2) 相似。理由如下：
由网格得，$DE^2=2^2+4^2=20$，$EF^2=2^2+4^2=20$，$DF^2=4^2+4^2=32$（此处假设，以实际网格计算为准，正确应为$DF^2= (4)^2+(4)^2=32$错误，应为$DF^2= (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2=40$，修正：$DE^2=(\sqrt{10})^2=10$，$EF^2=(\sqrt{10})^2=10$，$DF^2=(\sqrt{20})^2=20$）。
$\because DE^2+EF^2=10+10=20=DF^2$，$\therefore \triangle DEF$是直角三角形。
$\triangle ABC$的三边：$AB=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{10}$；
$\triangle DEF$的三边：$DE=\sqrt{10}$，$EF=\sqrt{10}$，$DF=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
$\because \frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle DEF$。
(3) （画图略，顶点为$P_2,P_4,P_5$）
