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例1 (1)如图1.4.4是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的垂直平分线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的垂直平分线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
答案
C
(2)如图1.4.5,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,P点到OA的距离PE= 2,点F是OB上任意一点,则线段PF的长的取值范围是( )
A.PF＜2
B.PF＞2
C.PF≥2
D.PF≤2
A.PF＜2
B.PF＞2
C.PF≥2
D.PF≤2
答案
C
例2 如图1.4.6,点O在三角板ABC上(其中∠ABC= 30°),OM⊥AB,ON⊥BC,垂足分别为M,N,若OM= ON,则∠ABO= ______°.
答案
15
例3 如图1.4.7,四边形ABCD中,CD= CB,AC平分∠DAB,CF⊥AB,垂足为F,过点C作AD的垂线,垂足为E.
(1)求证：∠ADC+∠B= 180°.
(2)若AD= 2,AB= 7,请直接写出AF的长.
(1)求证：∠ADC+∠B= 180°.
(2)若AD= 2,AB= 7,请直接写出AF的长.
答案
(1)证明：∵AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB
∴CE=CF
在Rt△CDE和Rt△CBF 中
$\begin {cases}{CE=CF}\\{CD=CB}\end {cases}$
∴$Rt△CDE≌Rt△CBF(\mathrm {HL})$
∴∠CDE=∠B
∵∠CDE+∠ADC=180°
∴∠ADC+∠B=180°
(2)解：$AF=\frac 92$
∴CE=CF
在Rt△CDE和Rt△CBF 中
$\begin {cases}{CE=CF}\\{CD=CB}\end {cases}$
∴$Rt△CDE≌Rt△CBF(\mathrm {HL})$
∴∠CDE=∠B
∵∠CDE+∠ADC=180°
∴∠ADC+∠B=180°
(2)解：$AF=\frac 92$
