10. (10分)若点 $ A(2a - 6,a - 1) $ 关于 $ y $ 轴对称的点 $ B $ 在第一象限,且 $ a $ 为整数.
(1) 求点 $ A $ 的坐标；
(2) 若点 $ C $ 在 $ x $ 轴上,且 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形,则符合条件的点 $ C $ 有______个.

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解：​(1)​点​A​关于​y​轴对称的点​B​坐标为​(6-2a，​​a-1)​
∵​B​在第一象限，∴​6-2a＞0​且​a-1＞0，​解得​1＜a＜3​
∵​a​为整数，∴​a=2，​∴点​A​坐标为​(-2，​​1)​

11. (12分)在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 经过平移得到 $ \triangle A'B'C' $,位置如图所示.
① 请说明 $ \triangle A'B'C' $ 是由 $ \triangle ABC $ 经过怎样的平移得到的；
② 若点 $ M(m,4 - n) $ 是 $ \triangle ABC $ 内部一点,则平移后对应点 $ M' $ 的坐标为 $ (10 - 2n,m - 1) $,求 $ m $ 和 $ n $ 的值.

解：​①​向左平移​5​个单位长度，向上平移​4​个单位长度
​②​由题意得​m-5=10-2n​且​4-n+4=m-1​
解得​m=3，​​n=6​

12. (14分)在平面直角坐标系中,已知点 $ M(m - 2,2m - 7) $,点 $ N(n,3) $.
(1) 若 $ M $ 在 $ x $ 轴上,求 $ m $ 的值；
(2) 若 $ MN // y $ 轴,点 $ M $ 在点 $ N $ 的上方且 $ MN = 3 $,求 $ n $ 的值.

解：​(1)M​在​x​轴则​2m-7=0，$​​m=\frac {7}{2}​$
​(2)MN//y​轴得​m-2=n，​​M​在​N​上方且​MN=3​得​2m-7=3+3​
解得$​m=\frac {13}{2}，$$​​n=\frac {9}{2}​$

13. (16分)对于平面直角坐标系 $ xOy $ 中的任意一点 $ P(x,y) $,给出如下定义：记 $ a = x + y $,$ b = -x + y $,将点 $ M(a,b) $ 与点 $ N(b,a) $ 称为点 $ P $ 的一对伴随点. 例如,点 $ M(1,-5) $ 与点 $ N(-5,1) $ 为点 $ P(3,-2) $ 的一对伴随点.
(1) 点 $ A(4,1) $ 的一对伴随点坐标为______.
(2) 已知点 $ E(-3,n) $,$ F(-3,n + 1) $,点 $ D $ 为线段 $ EF $ 上的动点,点 $ G $,$ H $ 为点 $ D $ 的一对伴随点. 当点 $ D $ 在线段 $ EF $ 上运动时,线段 $ GH $ 与 $ x $ 轴总有公共点,求出 $ n $ 的取值范围.

(5，-3)和(-3，5)
解：​(2)​∵​D​为线段​EF ​上的动点
∴设​D​点坐标为​(-3，​​t)(n≤t≤n+1)​
∴​D​点的伴随点为​(-3+t，​​3+t)​和​(3+t，​​-3+t)​
∴​G(-3+t，​​3+t)，​​H(3+t，​​-3+t)​
∵线段​GH​与​x​轴总有公共点，​t+3＞t-3​
∴$​\begin {cases}{t+3≥0}\\{t-3≤0}\end {cases}，$​解得​-3≤t≤3​
由​n≤t≤n +1，​得$​\begin {cases}{n≥-3 }\\{n+1≤3}\end {cases}​$
解得​-3≤n≤2​
∴​n​的取值范围为：​-3≤n≤2​