22. (本题 12 分)
如图甲,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= \alpha$,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$AD= AE$,连接$DC$,点$F$,$P$,$G分别为DE$,$DC$,$BC$的中点.
(1)观察猜想：如图甲,线段$PF与PG$的数量关系是,$\angle FPG= $______(用含$\alpha$的代数式表示).
(2)探究证明：若将$\triangle ADE绕点A$旋转到如图乙所示的位置,小明(1)中猜想的结论仍然成立,请你证明小明的猜想.
(3)拓展延伸：把$\triangle ADE绕点A$在平面内自由旋转,若$AD= 2$,$AB= 6$,请直接写出$PF$的最大值.

(1) $PF = PG$；$180^{\circ}-\alpha$
(2)证明：连接$BD$，$CE$。
因为$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAD=\angle CAE$，
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$，
则$BD = CE$，$\angle ABD=\angle ACE$。
因为$F$，$P$，$G$分别为$DE$，$DC$，$BC$的中点，
所以$PF$是$\triangle CDE$的中位线，$PG$是$\triangle BCD$的中位线，
所以$PF=\dfrac{1}{2}CE$，$PG = \dfrac{1}{2}BD$，$PF// CE$，$PG// BD$，
所以$PF = PG$。
因为$PF// CE$，$PG// BD$，
所以$\angle DPG=\angle CBD$，
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC$是公共角，
$\angle FPD=\angle ECD$（两直线平行，内错角相等），
$\angle GPD=\angle CBD$，
$\angle FPG=\angle FPD+\angle DPG=\angle ECD+\angle CBD$
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，
$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，$\angle ACB=\angle ACE+\angle ECD$，
$\angle BAC=\alpha$，
$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\alpha$，
$\angle ABD=\angle ACE$，
$\angle FPG = 180^{\circ}-\alpha$
(3) $4$