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7. 如图,每个小正方形的边长均为 1, $ A $, $ B $, $ C $ 是小正方形的顶点,那么 $ \angle ABC $ 的度数为(
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $
B
)A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $
答案
B
解析
设小正方形的边长为1，
根据图形，得$AC=BC=\sqrt{1^2+2^2} =\sqrt{5} $，
$AB=\sqrt{1^2+3^2} =\sqrt{10} $，
在$\bigtriangleup ABC$中，
$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，
由勾股定理逆定理得$\angle ACB=90°$，
因$AC=BC$，
所以$\angle ABC=45°$。
根据图形，得$AC=BC=\sqrt{1^2+2^2} =\sqrt{5} $，
$AB=\sqrt{1^2+3^2} =\sqrt{10} $，
在$\bigtriangleup ABC$中，
$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，
由勾股定理逆定理得$\angle ACB=90°$，
因$AC=BC$，
所以$\angle ABC=45°$。
8. 已知点 $ (-6,y_{1}) $, $ (-2,y_{2}) $, $ (5,y_{3}) $ 都在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k ＜ 0) $ 的图象上,那么(
A.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
B.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $
C.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
D.$ y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2} $
B
)A.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
B.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $
C.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
D.$ y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2} $
答案
B
解析
反比例函数$y = \frac{k}{x}$，$k \lt 0$时，图象在第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
点$(-6,y_1)$，$(-2,y_2)$在第二象限，因为$-6\lt -2$，所以$y_1\lt y_2$（根据函数单调性，在第二象限$x$增大$y$增大）且$y_1\gt0$，$y_2\gt0$；点$(5,y_3)$在第四象限，$y_3\lt0$，所以$y_2\gt y_1\gt y_3$。
点$(-6,y_1)$，$(-2,y_2)$在第二象限，因为$-6\lt -2$，所以$y_1\lt y_2$（根据函数单调性，在第二象限$x$增大$y$增大）且$y_1\gt0$，$y_2\gt0$；点$(5,y_3)$在第四象限，$y_3\lt0$，所以$y_2\gt y_1\gt y_3$。
9. 如图,函数 $ y = (x - 5)^{2} + k $ 与 $ y = \frac{k}{x} $ ( $ k $ 是非零常数)在同一坐标系中的大致图象有可能是(
B
)答案
B
解析
由函数$ y=(x-5)^{2}+k $得对称轴为$ x=5，$所以$ A,D $错$.$
对于选项$ B，$由$ y=\frac{k}{x} $得$ k < 0，$且抛物线与$ x $轴的交点在$ x $轴下方，所以$ B $可能存在；
对于选项$ B，$由$ y=\frac{k}{x} $得$ k < 0，$且抛物线与$ x $轴的交点在$ x $轴下方，所以$ B $可能存在；
对于$ C $选项，从反比例图象得$ k>0，$而从抛物线得$ k < 0，$所以$ C $错。
故选：$B.$
10. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的 $ y $ 与 $ x $ 的部分对应值如下表:
下列结论:① $ abc ＞ 0 $;②关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 9 $ 有两个相等的实数根;③当 $ -4 ＜ x ＜ 1 $ 时, $ y $ 的取值范围为 $ 0 ＜ y ＜ 5 $;④若点 $ (m,y_{1}) $, $ (-m - 2,y_{2}) $ 均在二次函数图象上,则 $ y_{1} = y_{2} $;⑤满足 $ ax^{2} + (b + 1)x + c ＜ 2 $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 3 $.其中正确结论的序号为(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
下列结论:① $ abc ＞ 0 $;②关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 9 $ 有两个相等的实数根;③当 $ -4 ＜ x ＜ 1 $ 时, $ y $ 的取值范围为 $ 0 ＜ y ＜ 5 $;④若点 $ (m,y_{1}) $, $ (-m - 2,y_{2}) $ 均在二次函数图象上,则 $ y_{1} = y_{2} $;⑤满足 $ ax^{2} + (b + 1)x + c ＜ 2 $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 3 $.其中正确结论的序号为(
C
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
解析
由表格数据知，二次函数对称轴为$x=-1$（$x=-3$与$x=1$时$y=5$），顶点为$(-1,9)$，开口向下（顶点$y$值最大），故$a＜0$。由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$得$b=2a＜0$。代入$x=-1,y=9$得$9=a - b + c$，结合$b=2a$解得$c=a + 9$；代入$x=1,y=5$得$5=3a + c$，联立解得$a=-1,b=-2,c=8$，即$y=-x² - 2x + 8$。
① $abc=(-1)(-2)(8)=16＞0$，正确；
② 方程$-x² - 2x + 8=9$即$(x+1)²=0$，有两个相等实根，正确；
③ 当$-4＜x＜1$时，$y$最大值为顶点$9$，取值范围为$0＜y≤9$，错误；
④ 点$(m,y₁)$与$(-m - 2,y₂)$中点为$-1$（对称轴），$y₁=y₂$，正确；
⑤ 不等式$-x² - x + 8＜2$即$(x+3)(x-2)＞0$，解集为$x＜-3$或$x＞2$，错误。
正确结论：①②④，共3个。
① $abc=(-1)(-2)(8)=16＞0$，正确；
② 方程$-x² - 2x + 8=9$即$(x+1)²=0$，有两个相等实根，正确；
③ 当$-4＜x＜1$时，$y$最大值为顶点$9$，取值范围为$0＜y≤9$，错误；
④ 点$(m,y₁)$与$(-m - 2,y₂)$中点为$-1$（对称轴），$y₁=y₂$，正确；
⑤ 不等式$-x² - x + 8＜2$即$(x+3)(x-2)＞0$，解集为$x＜-3$或$x＞2$，错误。
正确结论：①②④，共3个。
11. 二次函数 $ y = x^{2} - 6x + n $ 的对称轴为直线 $ x = $
3
.答案
3
解析
对于二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），其对称轴公式为 $x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数 $y = x^{2}-6x + n$ 中，$a = 1$，$b=-6$，将其代入对称轴公式可得：
$x=-\frac{-6}{2×1}=3$
在二次函数 $y = x^{2}-6x + n$ 中，$a = 1$，$b=-6$，将其代入对称轴公式可得：
$x=-\frac{-6}{2×1}=3$
12. 如图,已知点 $ A $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k \neq 0 $,且 $ k $ 为常数)图象上一点, $ AB \perp y $ 轴于点 $ B $, $ \triangle AOB $ 的面积是 3,则这个反比例函数的表达式为
$y=-\frac{6}{x}$
.答案
$y=-\frac{6}{x}$
解析
设点A的坐标为$(x,y)$，因为点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以$xy=k$。
由于$AB \perp y$轴于点B，所以$OB=|y|$，$AB=|x|$。
$\triangle AOB$的面积为$\frac{1}{2} × AB × OB = \frac{1}{2} × |x| × |y| = 3$，即$\frac{1}{2}|xy|=3$。
因为$xy=k$，所以$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$，即$k=\pm6$。
由图可知，点A在第二象限，所以$x＜0$，$y＞0$，则$k=xy＜0$，故$k=-6$。
因此，反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
由于$AB \perp y$轴于点B，所以$OB=|y|$，$AB=|x|$。
$\triangle AOB$的面积为$\frac{1}{2} × AB × OB = \frac{1}{2} × |x| × |y| = 3$，即$\frac{1}{2}|xy|=3$。
因为$xy=k$，所以$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$，即$k=\pm6$。
由图可知，点A在第二象限，所以$x＜0$，$y＞0$，则$k=xy＜0$，故$k=-6$。
因此，反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
