20. (8 分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D$是 $AB$边上一点,以 $BD$为直径的$\odot O$与 $AC$相切于点 $E$,连接 $DE$并延长交 $BC$的延长线于点 $F$.
(1) 求证:$BF = BD$.
(2) 若$CF = 1$,$\tan\angle EDB = 2$,求$\odot O$的直径.

(1) 连接OE。
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC。
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OE//BC。
∴∠OED=∠F。
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F。
∴∠BDF=∠F，
∴BF=BD。
(2)
∵tan∠EDB=2，∠EDB=∠F，在Rt△DCF中，tan∠F=DC/CF=DC/1=2，
∴DC=2。
设⊙O半径为r，则BD=2r，BF=BD=2r，BC=BF-CF=2r-1。
∵OE//BC，OE=r，BC=2r-1，且OE⊥AC，BC⊥AC，
∴△OED∽△CFD不成立，转而在Rt△BCD中，∠BCD=90°（DC⊥BC），
由勾股定理：BD²=BC²+DC²，即(2r)²=(2r-1)²+2²。
解得：4r²=4r²-4r+1+4，4r=5，r=5/4。
∴直径BD=2r=5/2。
答案：
(1) 见解析；
(2) 5/2。

21. (8 分)如图,$C$是以 $AB$为直径的$\odot O$上一点,过 $O$作 $OE\perp AC$于点 $E$,过点 $A$作$\odot O$的切线交 $OE$的延长线于点 $F$,连接 $CF$并延长交 $BA$的延长线于点 $P$.
(1) 求证:$PC$是$\odot O$的切线.
(2) 若$AB = 4$,$AP:PC = 1:2$,求 $CF$的长.

(1) 证明见上；(2) $CF = 1$。

(1) 证明：连接 $OC$。
∵ $OE \perp AC$，∴ $AE = EC$，$\angle AEF = \angle CEF = 90°$。
∵ $EF = EF$，∴ $\triangle AEF \cong \triangle CEF(SAS)$，∴ $FA = FC$。
∵ $AF$ 是 $\odot O$ 的切线，∴ $OA \perp AF$，即 $\angle OAF = 90°$。
∵ $OA = OC$，$OF = OF$，$FA = FC$，∴ $\triangle OAF \cong \triangle OCF(SSS)$，∴ $\angle OCF = \angle OAF = 90°$，即 $OC \perp PC$。
∵ $OC$ 是 $\odot O$ 的半径，∴ $PC$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2) 解：设 $AP = x$，则 $PC = 2x$。
∵ $AB = 4$，∴ $\odot O$ 半径 $OA = OC = 2$，$PB = PA + AB = x + 4$。
由切割线定理得 $PC^2 = PA \cdot PB$，即 $(2x)^2 = x(x + 4)$，解得 $x = \frac{4}{3}$（$x = 0$ 舍去）。
∴ $AP = \frac{4}{3}$，$PC = \frac{8}{3}$。设 $CF = AF = y$，则 $PF = PC - CF = \frac{8}{3} - y$。
∵ $\angle PAF = 90°$，在 $Rt\triangle PAF$ 中，$AP^2 + AF^2 = PF^2$，即 $\left(\frac{4}{3}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{8}{3} - y\right)^2$，解得 $y = 1$。
∴ $CF = 1$。