1. 某市要组织一次篮球比赛,赛制为单循环形式,即每两个篮球队之间都要比赛一场.若计划安排 36 场比赛,则应邀请多少支球队参加比赛?

应邀请9支球队参加比赛.

设应邀请$x$支球队参加比赛。
单循环比赛的总场数为$\frac{x(x - 1)}{2}$，依题意得：
$\frac{x(x - 1)}{2}=36$
$x(x - 1)=72$
$x^2 - x - 72=0$
$(x - 9)(x + 8)=0$
解得$x_1=9$，$x_2=-8$（球队数量不能为负数，舍去）
应邀请9支球队参加比赛.

2. 一个直角三角形的斜边长为 5 cm,一条直角边比另一条直角边长 1 cm,求这个直角三角形的面积.

三角形面积为6 cm².

设较短的直角边长为$x\ cm$，则另一条直角边长为$(x + 1)\ cm$。
根据勾股定理，得$x^2 + (x + 1)^2 = 5^2$。
展开并整理，得$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$，即$2x^2 + 2x - 24 = 0$，化简为$x^2 + x - 12 = 0$。
因式分解，得$(x + 4)(x - 3) = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -4$（边长不能为负，舍去）。
则两条直角边的长分别为$3\ cm$和$4\ cm$。
三角形面积为$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ cm^2$。
答：这个直角三角形的面积为$6\ cm^2$。

3. 有一个两位数,它的个位上的数与十位上的数的和为 9,而这两个数的积等于这个两位数的一半.这个两位数是多少?

这个两位数为36.

设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$9 - x$。
这个两位数可表示为$10x + (9 - x) = 9x + 9$。
根据题意，得$x(9 - x) = \frac{1}{2}(9x + 9)$。
整理方程，得$2x(9 - x) = 9x + 9$，即$18x - 2x^2 = 9x + 9$，移项化简为$2x^2 - 9x + 9 = 0$。
因式分解，得$(2x - 3)(x - 3) = 0$，解得$x = 3$或$x = \frac{3}{2}$。
因为$x$为十位数字，必须为整数，所以$x = \frac{3}{2}$舍去。
当$x = 3$时，个位数字为$9 - 3 = 6$，这个两位数是$36$。
这个两位数是36。

4. 如图,一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端 A 处到地面的距离为 8 m,如果梯子的顶端沿墙面下滑 1 m,那么梯子的底端在地面的滑动也是 1 m 吗? 如果设梯子底端滑动 $ x $ m,根据题意列出一元二次方程并解答.

不是；$(8-1)^{2}+(6+x)^{2}=100$,$x=\sqrt{51}-6$

不是；解：在$Rt\triangle ABC$中，$AC=8\ m$，$AB=10\ m$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6\ m$。
梯子顶端下滑$1\ m$后，$A'C=8 - 1=7\ m$，设梯子底端滑动$x\ m$，则$CB'=6 + x\ m$。
在$Rt\triangle A'CB'$中，由勾股定理得$(7)^{2}+(6 + x)^{2}=10^{2}$，即$(8 - 1)^{2}+(6 + x)^{2}=100$。
解方程：$49+(6 + x)^{2}=100$，$(6 + x)^{2}=51$，$6 + x=\sqrt{51}$（负值舍去），$x=\sqrt{51}-6$。
所以梯子底端滑动的距离不是$1\ m$，滑动距离为$(\sqrt{51}-6)\ m$。