6. 如图,在半径为$\sqrt {13}的\odot O$中,弦$AB与CD交于点E$,$\angle DEB = 75^{\circ}$,$AB = 6$,$AE = 1$,则$CD$的长是()

A.$2\sqrt {6}$
B.$2\sqrt {10}$
C.$2\sqrt {11}$
D.$4\sqrt {3}$
]

C

过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OE，OA，OC。
由垂径定理得AM=MB=3，AE=1，故EM=AM-AE=2。
在Rt△OAM中，OA=√13，AM=3，∴OM=√(OA²-AM²)=√(13-9)=2。
在Rt△OME中，OE=√(OM²+EM²)=√(2²+2²)=2√2。
设∠DEB=75°，直线AB为x轴，E为原点，建立坐标系，A(-1,0)，B(5,0)，M(2,0)，O(2,2)。
直线CD斜率tan75°=2+√3，方程为y=(2+√3)x。
圆心O(2,2)到CD距离d2=|(2+√3)×2-2|/√[(2+√3)²+1]=√2。
在Rt△ONC中，CN=√(OC²-ON²)=√(13-2)=√11，故CD=2CN=2√11。

7. 如图,在$\odot O$中,$C是弦AB$上的点,$AC = 2$,$CB = 8$. 连结$OC$,过点$C作DC\perp OC$,与$\odot O交于点D$,则$DC$的长为.

4

过O作OM⊥AB于M，由垂径定理得AM=MB=5。AC=2，故CM=AM-AC=3。设圆半径为r，OM=d，在Rt△OMA中，r²=d²+5²。在Rt△OMC中，OC²=d²+3²。因DC⊥OC，在Rt△OCD中，OD²=OC²+DC²，OD=r，故DC²=r²-OC²=(d²+25)-(d²+9)=16，DC=4。

8. 如图,$AB是半圆O$的直径,$AE$为弦,$C为AE$的中点,$CD\perp AB于点D$,交$AE于点F$,$BC交AE于点G$. 求证：$AF = FC$.
]

证明：
1. 连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余）。
2. ∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAB+∠ACD=90°（直角三角形两锐角互余）。
3. 由1、2得∠ACD=∠CBA（同角的余角相等）。
4. ∵C为AE中点，
∴弧AC=弧CE（中点定义），
∴∠CBA=∠CAE（等弧所对的圆周角相等）。
5. 由3、4得∠ACD=∠CAE（等量代换）。
6. 在△AFC中，∠CAE=∠ACD，即∠FAC=∠FCA，
∴AF=FC（等角对等边）。
综上，AF=FC。

9. 如图,$\odot O的半径为4\sqrt {5}$,$\odot O的两条弦AB\perp CD于点P$,$BC中点为F$,连结$FP并延长交AD于E$.
(1)求证：$EF\perp AD$.
(2)若$AB = 16$,$OP = 6$,求弦$CD$的长.
]

（1）见证明过程；（2）4√15。

（1）证明：
∵AB⊥CD于P，∴∠BPC=90°，F为BC中点，
∴FP=FB=FC（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠FBP=∠FPB。
∵∠FPB=∠EPD（对顶角），∠FBP=∠ADC（同弧AC所对圆周角相等），
∴∠EPD=∠ADC。
由相交弦定理得AP·PB=CP·PD。
在Rt△APD中，∠PAD+∠PDA=90°，
∵∠PDA=∠ADC=∠EPD，∴∠PAD+∠EPD=90°。
在△APE中，∠PAE+∠APE+∠AEP=180°，∠APE=∠EPD，
∴∠PAE+∠EPD+∠AEP=180°，又∠PAE+∠EPD=90°，
∴∠AEP=90°，即EF⊥AD。
（2）解：
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连结OA、OC。
∵OM⊥AB，∴AM=AB/2=8。
在Rt△OAM中，OA²=OM²+AM²，
(4√5)²=OM²+8²，80=OM²+64，∴OM²=16，OM=4。
∵AB⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴四边形OMPN为矩形，
∴OP²=OM²+ON²（矩形对角线性质）。
∵OP=6，∴6²=4²+ON²，36=16+ON²，∴ON²=20。
在Rt△OCN中，OC²=ON²+CN²，
(4√5)²=20+CN²，80=20+CN²，∴CN²=60，CN=2√15。
∴CD=2CN=4√15。