▲6. 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别是 $ A(1,1) $,$ B(3,1) $,$ C(2,2) $. 当直线 $ y = \frac{1}{2}x + b $ 与 $ \triangle ABC $ 有交点时,$ b $ 的取值范围是()

A.$ -1 \leq b \leq 1 $
B.$ -\frac{1}{2} \leq b \leq 1 $
C.$ -\frac{1}{2} \leq b \leq \frac{1}{2} $
D.$ -1 \leq b \leq \frac{1}{2} $
]

B

直线 $ y = \frac{1}{2}x + b $ 斜率固定为 $ \frac{1}{2} $，$ b $ 为截距，直线上下平移。需确定直线与 $ \triangle ABC $ 有交点时 $ b $ 的范围，即求直线与 $ \triangle ABC $ 三边相交的临界 $ b $ 值。
1. 求三边方程：
$ AB $：$ A(1,1) $，$ B(3,1) $，$ y = 1 $（$ x \in [1,3] $）；
$ AC $：$ A(1,1) $，$ C(2,2) $，斜率为 1，方程 $ y = x $（$ x \in [1,2] $）；
$ BC $：$ B(3,1) $，$ C(2,2) $，斜率为 -1，方程 $ y = -x + 4 $（$ x \in [2,3] $）。
2. 直线与三边交点的 $ b $ 范围：
与 $ AB $ 相交：联立 $ y = 1 $ 与 $ y = \frac{1}{2}x + b $，得 $ x = 2(1 - b) $。由 $ x \in [1,3] $，解得 $ -\frac{1}{2} \leq b \leq \frac{1}{2} $；
与 $ AC $ 相交：联立 $ y = x $ 与 $ y = \frac{1}{2}x + b $，得 $ x = 2b $。由 $ x \in [1,2] $，解得 $ \frac{1}{2} \leq b \leq 1 $；
与 $ BC $ 相交：联立 $ y = -x + 4 $ 与 $ y = \frac{1}{2}x + b $，得 $ x = \frac{2(4 - b)}{3} $。由 $ x \in [2,3] $，解得 $ -\frac{1}{2} \leq b \leq 1 $。
3. 综合范围：取上述区间的并集，得 $ -\frac{1}{2} \leq b \leq 1 $。

7. 当 $ x = 2 $ 时,不论 $ k $ 取任何实数,函数 $ y = k(x - 2) + 3 $ 的值为 3,所以直线 $ y = k(x - 2) + 3 $ 一定经过定点 $ (2,3) $；同样,直线 $ y = kx - 3k + 2 $ 一定经过的定点为.

$(3,2)$

将方程$y = kx - 3k + 2$进行整理，得$y=k(x-3)+2$。
为了找到这个直线一定经过的定点，需要找到一个$x$的值使得$k$的系数为$0$，
这样$y$的值就与$k$无关了，当$x=3$时，$k$的系数为$0$，$y$的值为$2$，
所以，直线$y = kx - 3k + 2$一定会经过定点$(3, 2)$。

8. 一次函数 $ y = ax - a + 1 $($ a $ 为常数且 $ a \neq 0 $).
(1) 若点 $ (-\frac{1}{2},3) $ 在一次函数 $ y = ax - a + 1 $ 的图象上,求 $ a $ 的值.
(2) 当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时,函数有最大值 2,请求出 $ a $ 的值.

(1)
将点$(-\frac{1}{2},3)$代入$y = ax - a + 1$，得：
$3 = -\frac{1}{2}a - a + 1$，
$3 = -\frac{3}{2}a + 1$，
$\frac{3}{2}a = -2$，
$a = -\frac{4}{3}$。
(2)
当$a ＞ 0$时，函数$y = ax - a + 1$随$x$增大而增大，所以在$x = 2$时取最大值，即：
$2 = 2a - a + 1$，
$a = 1$。
当$a ＜ 0$时，函数$y = ax - a + 1$随$x$增大而减小，所以在$x = -1$时取最大值，即：
$2 = -a - a + 1$，
$2a = -1$，
$a = -\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为$1$或$-\frac{1}{2}$。

9. 科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下,压强 $ p(kPa) $ 随温度 $ t(^{\circ}C) $ 的变化的函数表达式是 $ p = kt + b $,其图象是如图所示的射线 $ AB $.
(1) 根据图象求该气体的压强 $ p $ 与温度 $ t $ 的函数表达式.
(2) 求当压强 $ p $ 不小于 $ 200kPa $ 时,该气体的温度在怎样的范围内.
]

(1) 由图象可知，射线AB经过点A(0,100)和点(25,110)。
将点A(0,100)代入$p = kt + b$，得$100 = k×0 + b$，解得$b = 100$。
将点(25,110)和$b = 100$代入$p = kt + b$，得$110 = 25k + 100$，解得$k = 0.4$。
所以函数表达式为$p = 0.4t + 100$。
(2) 当$p \geq 200$时，$0.4t + 100 \geq 200$，$0.4t \geq 100$，解得$t \geq 250$。
所以温度不低于$250^{\circ}C$。