5. 已知$3x^{n} - mx + 1$是关于$x$的三次二项式，求$m + n$的值.

5. 由题意可得，$3x^{n}$项的次数$n=3$，$-mx$项的系数为0，可得$m=0$，所以$m+n=3$.

解：因为$3x^{n} - mx + 1$是关于$x$的三次二项式，所以最高次项次数为$3$，即$n = 3$；且多项式只有两项，所以$-mx$项的系数$-m = 0$，即$m = 0$。因此$m + n = 0 + 3 = 3$。

6. 图中是一个长方体和一个正方体的组合体.
（1）请用代数式表示这个组合体的体积；
（2）（1）中所列的代数式是单项式还是多项式？如果是多项式，请写出它是几次几项式；如果是单项式，请写出它的系数和次数；
（3）当$a = 2$，$b = 8$时，求这个组合体的体积.

6.（1）这个组合体的体积是$a^{3}+a^{2}b$；（2）$a^{3}+a^{2}b$是多项式，它是三次二项式；（3）当$a=2$，$b=8$时，$a^{3}+a^{2}b=2^{3}+2^{2}× 8=40$，即这个组合体的体积为40.

7. 已知关于$x$的多项式$(a - 3)x^{3} + 4x^{2} + (4 - b)x + 3$不含三次项和一次项，则当$x = -\frac{1}{2}$时，多项式的值为.

7. 4.

因为多项式不含三次项和一次项，所以三次项系数和一次项系数为0。
三次项系数：$a - 3 = 0$，解得$a = 3$。
一次项系数：$4 - b = 0$，解得$b = 4$。
此时多项式为$4x^2 + 3$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，$4×(-\frac{1}{2})^2 + 3 = 4×\frac{1}{4} + 3 = 1 + 3 = 4$。
4

8. 若多项式$-5a^{2}b^{|x|} + 3a^{3}b + x - 4$是关于$a$，$b$的六次三项式，则$x$的值为.

8. $-4$.

因为多项式$-5a^{2}b^{|x|} + 3a^{3}b + x - 4$是关于$a$，$b$的六次三项式，所以最高次项的次数为$6$，且项数为$3$。
最高次项为$-5a^{2}b^{|x|}$，其次数为$2 + |x|$，则$2 + |x| = 6$，解得$|x| = 4$，即$x = \pm 4$。
又因为多项式是三项式，而原式有四项：$-5a^{2}b^{|x|}$、$3a^{3}b$、$x$、$-4$，所以其中必有一项的系数为$0$。由于$-5$、$3$、$-4$均不为$0$，所以只能是$x = 0$，但$x = \pm 4$，矛盾，故只能是$x$这一项与其他项合并后消失，即$x - 4 = 0$不成立，所以只能是$x = 0$不符合，因此只能是$x$的系数为$0$，即$x = 0$，但前面已得$x = \pm 4$，所以只能是当$x = 4$时，$x - 4 = 0$，此时多项式为$-5a^{2}b^{4} + 3a^{3}b$，是二项式，不符合三项式；当$x = -4$时，多项式为$-5a^{2}b^{4} + 3a^{3}b - 4 - 4 = -5a^{2}b^{4} + 3a^{3}b - 8$，是三项式，符合题意。
综上，$x$的值为$-4$。
$-4$

9. 请用单项式$-xy^{3}$，$5x^{4}y$，$-4y^{5}$，$\frac{2}{3}x^{6}y^{4}$，$3x^{2}y^{2}$，$-2$按下述要求组成多项式：
（1）写出一个五次三项式；
（2）把以上所有单项式组成一个多项式，它是几次几项式？把组成的多项式按$y$的升幂重新排列.

9.（1）可以为$-xy^{3}+5x^{4}y-4y^{5}$，答案不唯一；（2）这些单项式可以组成的多项式是十次六项式，按y的升幂排列为$-2+5x^{4}y+3x^{2}y^{2}-$

（1）$-xy^{3}+5x^{4}y-2$（答案不唯一）；
（2）十次六项式；$-2+5x^{4}y+3x^{2}y^{2}-xy^{3}-4y^{5}+\frac{2}{3}x^{6}y^{4}$