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10.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,有下列结论:①$ab＜0$;②$a+b＜0$;③$a-b＜0$;④$a＜|b|$;⑤$-a＞-b$.其中正确的有( 
).
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
10.B
解析
【分析】
首先观察数轴，根据“数轴上右侧的数总是大于左侧的数”可得：a是正数（$a＞0$），b是负数（$b＜0$），且b到原点的距离比a远，即$|b|＞|a|$。接下来结合有理数的运算规则、绝对值的性质等，逐个判断5个结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
由数轴可知：$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$，逐个分析结论：
① 两数相乘，异号得负，a为正、b为负，因此$ab＜0$，结论①正确；
② 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$|b|＞|a|$，b为负数，因此$a+b＜0$，结论②正确；
③ $a-b=a+(-b)$，b为负数则$-b$是正数，正数加正数结果为正，因此$a-b＞0$，结论③错误；
④ 因为a是正数，所以$|a|=a$，结合$|b|＞|a|$可得$|b|＞a$，即$a＜|b|$，结论④正确；
⑤ a是正数，则$-a＜0$；b是负数，则$-b＞0$，正数大于负数，因此$-a＜-b$，结论⑤错误。
综上，正确的结论是①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数运算；绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中准确提取a、b的符号和绝对值大小关系，再结合有理数的加减、乘法法则，以及正负性比较规则逐一验证结论，属于基础类的数形结合题型。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴，根据“数轴上右侧的数总是大于左侧的数”可得：a是正数（$a＞0$），b是负数（$b＜0$），且b到原点的距离比a远，即$|b|＞|a|$。接下来结合有理数的运算规则、绝对值的性质等，逐个判断5个结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
由数轴可知：$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$，逐个分析结论：
① 两数相乘，异号得负，a为正、b为负，因此$ab＜0$，结论①正确；
② 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$|b|＞|a|$，b为负数，因此$a+b＜0$，结论②正确；
③ $a-b=a+(-b)$，b为负数则$-b$是正数，正数加正数结果为正，因此$a-b＞0$，结论③错误；
④ 因为a是正数，所以$|a|=a$，结合$|b|＞|a|$可得$|b|＞a$，即$a＜|b|$，结论④正确；
⑤ a是正数，则$-a＜0$；b是负数，则$-b＞0$，正数大于负数，因此$-a＜-b$，结论⑤错误。
综上，正确的结论是①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数运算；绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中准确提取a、b的符号和绝对值大小关系，再结合有理数的加减、乘法法则，以及正负性比较规则逐一验证结论，属于基础类的数形结合题型。
【难度系数】
0.7
11.规定$[x]$表示不大于$x$的所有整数中最大的整数，例如，$[1.7]=1$，$[-1.7]=-2$.根据此规定，完成下列运算.
（1）$[-3.8]×[6.1]$.
（2）$[0]×[-4.5]$.
（1）$[-3.8]×[6.1]$.
（2）$[0]×[-4.5]$.
答案
11.(1)原式＝－4×6＝－24． (2)原式＝0×(－5)＝0．
解析
【分析】
首先明确题目给出的新定义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，即小于或等于$x$的所有整数里数值最大的那个。解题时第一步先根据这个定义分别计算每个取整符号对应的数值，注意负数取整时不要搞错大小关系（比如小于$-3.8$的最大整数是$-4$，不是$-3$）；第二步再按照有理数乘法的运算法则计算最终结果即可。
【解析】
（1）根据新定义：不大于$-3.8$的最大整数是$-4$，即$[-3.8]=-4$；不大于$6.1$的最大整数是$6$，即$[6.1]=6$。
代入原式计算：
原式＝$-4×6＝-24$。
（2）根据新定义：不大于$0$的最大整数是$0$，即$[0]=0$；不大于$-4.5$的最大整数是$-5$，即$[-4.5]=-5$。
代入原式计算：
原式＝$0×(-5)＝0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-24}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法运算
【点评】
本题主要考查对新定义规则的理解能力和有理数乘法的计算能力，解题的核心是准确根据取整规则求出每个括号内的数值，负数取整是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的新定义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，即小于或等于$x$的所有整数里数值最大的那个。解题时第一步先根据这个定义分别计算每个取整符号对应的数值，注意负数取整时不要搞错大小关系（比如小于$-3.8$的最大整数是$-4$，不是$-3$）；第二步再按照有理数乘法的运算法则计算最终结果即可。
【解析】
（1）根据新定义：不大于$-3.8$的最大整数是$-4$，即$[-3.8]=-4$；不大于$6.1$的最大整数是$6$，即$[6.1]=6$。
代入原式计算：
原式＝$-4×6＝-24$。
（2）根据新定义：不大于$0$的最大整数是$0$，即$[0]=0$；不大于$-4.5$的最大整数是$-5$，即$[-4.5]=-5$。
代入原式计算：
原式＝$0×(-5)＝0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-24}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法运算
【点评】
本题主要考查对新定义规则的理解能力和有理数乘法的计算能力，解题的核心是准确根据取整规则求出每个括号内的数值，负数取整是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.7
12.观察下列各式：
第1个等式：$-1×\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$；
第2个等式：$-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$；
第3个等式：$-\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$；
……
(1)根据上述规律,写出第5个等式：______.
(2)计算：$(-1×\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})+…+(-\frac{1}{2025}×\frac{1}{2026})$.
第1个等式：$-1×\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$；
第2个等式：$-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$；
第3个等式：$-\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$；
……
(1)根据上述规律,写出第5个等式：______.
(2)计算：$(-1×\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})+…+(-\frac{1}{2025}×\frac{1}{2026})$.
答案
12.(1) $-\frac{1}{5}×\frac{1}{6}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{30}$
(2)原式$=-1+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})+\frac{1}{2026}$
$=-1+[\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})]+\frac{1}{2026}$
$=-1+0+\frac{1}{2026}$
$=-\frac{2025}{2026}.$
(2)原式$=-1+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})+\frac{1}{2026}$
$=-1+[\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})]+\frac{1}{2026}$
$=-1+0+\frac{1}{2026}$
$=-\frac{2025}{2026}.$
解析
【分析】
（1）先观察给出的前3个等式，归纳通用规律：第n个等式的结构为$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n(n+1)}$，将n=5代入规律即可得到第5个等式；
（2）根据前面发现的规律，把求和式中的每一项都拆成两个分数相加的形式，再利用加法结合律，将互为相反数的项结合相加，中间项全部抵消后仅剩余首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
（1）观察已知等式，可总结第n个等式为：$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n(n+1)}$
当n=5时，代入得第5个等式为：$-\frac{1}{5}×\frac{1}{6}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{30}$
（2）根据规律将原式的每一项拆分：
原式$=-1+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})+\frac{1}{2026}$
利用加法结合律，将互为相反数的项分组计算：
$=-1+[\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})]+\frac{1}{2026}$
中间所有互为相反数的项和为0：
$=-1+0+\frac{1}{2026}$
计算最终结果：
$=-\frac{2025}{2026}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}×\frac{1}{6}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{30}$
(2) $-\frac{2025}{2026}$
【知识点】
有理数乘法运算，数字规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和简便运算技巧，需要先通过已知等式总结通用规律，再利用规律拆分运算项，通过抵消中间项简化计算，能有效降低复杂求和的运算量。
【难度系数】
0.7
（1）先观察给出的前3个等式，归纳通用规律：第n个等式的结构为$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n(n+1)}$，将n=5代入规律即可得到第5个等式；
（2）根据前面发现的规律，把求和式中的每一项都拆成两个分数相加的形式，再利用加法结合律，将互为相反数的项结合相加，中间项全部抵消后仅剩余首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
（1）观察已知等式，可总结第n个等式为：$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n(n+1)}$
当n=5时，代入得第5个等式为：$-\frac{1}{5}×\frac{1}{6}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{30}$
（2）根据规律将原式的每一项拆分：
原式$=-1+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})+\frac{1}{2026}$
利用加法结合律，将互为相反数的项分组计算：
$=-1+[\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})+\frac{1}{4}+\dots+(-\frac{1}{2025})]+\frac{1}{2026}$
中间所有互为相反数的项和为0：
$=-1+0+\frac{1}{2026}$
计算最终结果：
$=-\frac{2025}{2026}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}×\frac{1}{6}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{30}$
(2) $-\frac{2025}{2026}$
【知识点】
有理数乘法运算，数字规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和简便运算技巧，需要先通过已知等式总结通用规律，再利用规律拆分运算项，通过抵消中间项简化计算，能有效降低复杂求和的运算量。
【难度系数】
0.7
