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8.将一个底面半径为10 cm的圆柱体容器里的药液全部倒进一个底面是正方形的长方体容器内(药液没有溢出)。如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少(结果保留π)？
答案
8.$\sqrt{100π}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住“药液体积不变”的等量关系：①首先明确液体从圆柱容器倒入长方体容器，总体积不会改变，且两个容器内药液高度相同；②我们可以先设药液高度为h，分别用体积公式表示出两个容器中药液的体积，令二者相等；③由于高度h相同，可以消去h，得到长方体底面正方形的面积与圆柱底面积相等的关系；④最后根据正方形面积与边长的关系，利用算术平方根的意义求出底面边长即可。
【解析】
解：设两个容器里药液的高度均为$ h\ \mathrm{cm} $，长方体容器的底面边长为$ a\ \mathrm{cm} $。
1. 计算圆柱形容器中药液的体积：
圆柱体积公式为$ V = π r^2 h $，已知底面半径$ r=10\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ V_{\mathrm{圆柱}} = π × 10^2 × h = 100π h $
2. 计算长方体容器中药液的体积：
长方体体积公式为$ V = \mathrm{底面积} × \mathrm{高} $，底面是正方形，底面积为$ a^2 $，因此：
$ V_{\mathrm{长方体}} = a^2 h $
3. 根据药液体积相等列等式：
因为药液体积不变，所以$ V_{\mathrm{圆柱}} = V_{\mathrm{长方体}} $，即：
$ 100π h = a^2 h $
由于药液高度$ h ≠ 0 $，两边同时除以$ h $得：$ a^2 = 100π $
4. 求边长：
边长$ a $为正数，因此$ a = \sqrt{100π}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$\sqrt{100π}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 柱体体积计算
2. 等积变换
3. 算术平方根应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是抓住药液体积不变、高度相等的条件，快速推导得到两个容器底面积相等的关系，再结合算术平方根的意义求解即可，注意边长为正数，只需取正的平方根。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是抓住“药液体积不变”的等量关系：①首先明确液体从圆柱容器倒入长方体容器，总体积不会改变，且两个容器内药液高度相同；②我们可以先设药液高度为h，分别用体积公式表示出两个容器中药液的体积，令二者相等；③由于高度h相同，可以消去h，得到长方体底面正方形的面积与圆柱底面积相等的关系；④最后根据正方形面积与边长的关系，利用算术平方根的意义求出底面边长即可。
【解析】
解：设两个容器里药液的高度均为$ h\ \mathrm{cm} $，长方体容器的底面边长为$ a\ \mathrm{cm} $。
1. 计算圆柱形容器中药液的体积：
圆柱体积公式为$ V = π r^2 h $，已知底面半径$ r=10\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ V_{\mathrm{圆柱}} = π × 10^2 × h = 100π h $
2. 计算长方体容器中药液的体积：
长方体体积公式为$ V = \mathrm{底面积} × \mathrm{高} $，底面是正方形，底面积为$ a^2 $，因此：
$ V_{\mathrm{长方体}} = a^2 h $
3. 根据药液体积相等列等式：
因为药液体积不变，所以$ V_{\mathrm{圆柱}} = V_{\mathrm{长方体}} $，即：
$ 100π h = a^2 h $
由于药液高度$ h ≠ 0 $，两边同时除以$ h $得：$ a^2 = 100π $
4. 求边长：
边长$ a $为正数，因此$ a = \sqrt{100π}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$\sqrt{100π}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 柱体体积计算
2. 等积变换
3. 算术平方根应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是抓住药液体积不变、高度相等的条件，快速推导得到两个容器底面积相等的关系，再结合算术平方根的意义求解即可，注意边长为正数，只需取正的平方根。
【难度系数】
0.7
9.有下列说法:①两个无理数的差一定是无理数;②两个无理数的商一定是无理数;③两个无理数的积可能是无理数;④有理数和无理数的和一定是无理数;⑤有理数和无理数的积一定是无理数。
其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
其中正确的有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9.B
解析
【分析】
要判断5个说法的正误，我们可以逐个分析：对于错误的说法，只需举出一个不符合的反例即可推翻；对于正确的说法，要验证是否不存在例外情况。解题时注意0、相同无理数这类特殊值的使用，能帮助我们快速判断结论是否成立。
【解析】
对5个说法逐一验证：
①说法错误：反例：$\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$，0是有理数，因此两个无理数的差不一定是无理数。
②说法错误：反例：$\sqrt{2}÷\sqrt{2}=1$，1是有理数，因此两个无理数的商不一定是无理数。
③说法正确：例如$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$（$\sqrt{6}$是无理数），也存在$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$（有理数）的情况，所以两个无理数的积可能是无理数。
④说法正确：假设有理数$a$和无理数$b$的和是有理数$c$，即$a+b=c$，可推导得$b=c-a$，两个有理数的差仍是有理数，和$b$是无理数矛盾，因此有理数和无理数的和一定是无理数。
⑤说法错误：反例：$0×\sqrt{2}=0$，0是有理数，因此有理数和无理数的积不一定是无理数。
综上，正确的是③④，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的概念；实数的运算；有理数与无理数的运算性质
【点评】
本题重点考查对实数运算规律的理解，举反例是判断这类正误题的常用方法，解题时要格外注意0、相等的无理数等特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.6
要判断5个说法的正误，我们可以逐个分析：对于错误的说法，只需举出一个不符合的反例即可推翻；对于正确的说法，要验证是否不存在例外情况。解题时注意0、相同无理数这类特殊值的使用，能帮助我们快速判断结论是否成立。
【解析】
对5个说法逐一验证：
①说法错误：反例：$\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$，0是有理数，因此两个无理数的差不一定是无理数。
②说法错误：反例：$\sqrt{2}÷\sqrt{2}=1$，1是有理数，因此两个无理数的商不一定是无理数。
③说法正确：例如$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$（$\sqrt{6}$是无理数），也存在$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$（有理数）的情况，所以两个无理数的积可能是无理数。
④说法正确：假设有理数$a$和无理数$b$的和是有理数$c$，即$a+b=c$，可推导得$b=c-a$，两个有理数的差仍是有理数，和$b$是无理数矛盾，因此有理数和无理数的和一定是无理数。
⑤说法错误：反例：$0×\sqrt{2}=0$，0是有理数，因此有理数和无理数的积不一定是无理数。
综上，正确的是③④，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的概念；实数的运算；有理数与无理数的运算性质
【点评】
本题重点考查对实数运算规律的理解，举反例是判断这类正误题的常用方法，解题时要格外注意0、相等的无理数等特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.6
10. 对于任意不相等的两个实数$a,b$，定义运算“$*$”如下：$a * b = \dfrac{\sqrt{a + b}}{a - b}$，如$3 * 2 = \dfrac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2} = \sqrt{5}$，那么$4 * 7$的值为
$-\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
。答案
10.$-\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题首先要准确理解题目给出的运算规则：运算符号“*”前面的数对应公式中的a，后面的数对应公式中的b，按照$a * b = \dfrac{\sqrt{a + b}}{a - b}$的规则代入数值计算即可。计算时注意先算根号内的加法，再算分母的减法，不要混淆a、b的代入顺序，最后正确处理运算符号。
【解析】
根据题中定义的运算规则$a * b = \dfrac{\sqrt{a + b}}{a - b}$，计算$4*7$时，取$a=4$，$b=7$，代入公式可得：
$\begin{aligned}4*7&=\dfrac{\sqrt{4+7}}{4-7}\\&=\dfrac{\sqrt{11}}{-3}\\&=-\dfrac{\sqrt{11}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
【知识点】
新定义运算，实数运算，二次根式化简
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和实数基本运算能力，解题的关键是正确对应新运算中两个数的位置，代入计算时注意符号的处理，避免因颠倒a、b顺序出现错误。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题首先要准确理解题目给出的运算规则：运算符号“*”前面的数对应公式中的a，后面的数对应公式中的b，按照$a * b = \dfrac{\sqrt{a + b}}{a - b}$的规则代入数值计算即可。计算时注意先算根号内的加法，再算分母的减法，不要混淆a、b的代入顺序，最后正确处理运算符号。
【解析】
根据题中定义的运算规则$a * b = \dfrac{\sqrt{a + b}}{a - b}$，计算$4*7$时，取$a=4$，$b=7$，代入公式可得：
$\begin{aligned}4*7&=\dfrac{\sqrt{4+7}}{4-7}\\&=\dfrac{\sqrt{11}}{-3}\\&=-\dfrac{\sqrt{11}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
【知识点】
新定义运算，实数运算，二次根式化简
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和实数基本运算能力，解题的关键是正确对应新运算中两个数的位置，代入计算时注意符号的处理，避免因颠倒a、b顺序出现错误。
【难度系数】
0.8
11. 先阅读相关的材料，再根据要求解答
提出的问题：
问题情境：设$a,b$是有理数，且满足
$a+\sqrt{2}× b=3-2×\sqrt{2}$，求$ab$的值。
解：由题意得$(a - 3)+(b + 2)×\sqrt{2}=0$。
因为$a,b$都是有理数，
所以$a - 3,b + 2$也是有理数。
因为$\sqrt{2}$是无理数，
所以$a - 3=0,b + 2=0$，
所以$a=3,b=-2$，所以$ab=-6$。
解决问题：设$x,y$都是有理数，且满足$x^2 - 2y+\sqrt{5}× y=8 + 4×\sqrt{5}$，求$x + y$的值。
提出的问题：
问题情境：设$a,b$是有理数，且满足
$a+\sqrt{2}× b=3-2×\sqrt{2}$，求$ab$的值。
解：由题意得$(a - 3)+(b + 2)×\sqrt{2}=0$。
因为$a,b$都是有理数，
所以$a - 3,b + 2$也是有理数。
因为$\sqrt{2}$是无理数，
所以$a - 3=0,b + 2=0$，
所以$a=3,b=-2$，所以$ab=-6$。
解决问题：设$x,y$都是有理数，且满足$x^2 - 2y+\sqrt{5}× y=8 + 4×\sqrt{5}$，求$x + y$的值。
答案
11.8或0。
解析
【分析】
解题思路可参照题中给出的示例：首先将等式整理为不含根号的有理数部分与含$\sqrt{5}$的无理数部分相加的形式，根据有理数、无理数的性质：若有理数与无理数的和为0，则无理数的系数为0，且有理数部分也为0，据此列两个方程分别求y和x的取值，最后计算x+y即可，注意x是平方根，有正负两个解，不要漏解。
【解析】
对已知等式移项整理得：
$(x^2 - 2y - 8) + (y - 4)\sqrt{5} = 0$
因为$x,y$都是有理数，所以$x^2 - 2y - 8$和$y - 4$都是有理数，而$\sqrt{5}$是无理数，要使等式成立，需满足：
$\begin{cases}y - 4 = 0 \\ x^2 - 2y - 8 = 0\end{cases}$
解第一个方程得$y=4$，将$y=4$代入第二个方程：
$x^2 - 2×4 - 8 = 0$，即$x^2=16$，解得$x=4$或$x=-4$
当$x=4,y=4$时，$x+y=4+4=8$
当$x=-4,y=4$时，$x+y=-4+4=0$
【答案】
8或0
【知识点】
无理数的性质，平方根运算，代数式求值
【点评】
本题的解题关键是将等式拆分为有理部分和无理部分分别列等式求解，需要注意正数的平方根有两个互为相反数的取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路可参照题中给出的示例：首先将等式整理为不含根号的有理数部分与含$\sqrt{5}$的无理数部分相加的形式，根据有理数、无理数的性质：若有理数与无理数的和为0，则无理数的系数为0，且有理数部分也为0，据此列两个方程分别求y和x的取值，最后计算x+y即可，注意x是平方根，有正负两个解，不要漏解。
【解析】
对已知等式移项整理得：
$(x^2 - 2y - 8) + (y - 4)\sqrt{5} = 0$
因为$x,y$都是有理数，所以$x^2 - 2y - 8$和$y - 4$都是有理数，而$\sqrt{5}$是无理数，要使等式成立，需满足：
$\begin{cases}y - 4 = 0 \\ x^2 - 2y - 8 = 0\end{cases}$
解第一个方程得$y=4$，将$y=4$代入第二个方程：
$x^2 - 2×4 - 8 = 0$，即$x^2=16$，解得$x=4$或$x=-4$
当$x=4,y=4$时，$x+y=4+4=8$
当$x=-4,y=4$时，$x+y=-4+4=0$
【答案】
8或0
【知识点】
无理数的性质，平方根运算，代数式求值
【点评】
本题的解题关键是将等式拆分为有理部分和无理部分分别列等式求解，需要注意正数的平方根有两个互为相反数的取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12.有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，先在木板上截出两个面积为$18\ \mathrm{dm}^2$和$32\ \mathrm{dm}^2$的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为$1.5\ \mathrm{dm}$，宽为$1\ \mathrm{dm}$的长方形木条，请问：最多能截出几块这样的木条（利用计算器计算）？
答案
12.2块。
解析
【分析】
解决本题的思路分为三步：第一步，根据正方形面积与边长的关系，求出两个正方形的边长；第二步，结合图形确定剩余木料的形状和长、宽尺寸；第三步，结合木条的长、宽，分别判断剩余木料的长、宽方向最多可放置的木条数量，两者相乘得到总数量，注意裁剪时木料不能拼接，要按实际边长判断，不能仅用面积相除计算。
【解析】
解：首先计算两个正方形的边长：
面积为$18\ \mathrm{dm}^2$的正方形边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4.24\ \mathrm{dm}$
面积为$32\ \mathrm{dm}^2$的正方形边长：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx5.66\ \mathrm{dm}$
由图可知，剩余木料为长方形，它的长等于小正方形的边长≈4.24dm，宽为两个正方形的边长差：
$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx1.41\ \mathrm{dm}$
已知木条长1.5dm、宽1dm：
1. 剩余长方形的宽≈1.41dm，小于木条的长1.5dm，因此木条的宽（1dm）只能沿剩余长方形的宽方向放置，且$2×1=2＞1.41$，宽方向最多只能放1层木条；
2. 剩余长方形的长≈4.24dm，$1.5×2=3＜4.24$，$1.5×3=4.5＞4.24$，因此长方向最多可以放2个木条。
总数量：$1×2=2$（块）
【答案】
2块
【知识点】
算术平方根，实数估算，长方形裁剪
【点评】
本题将实数运算和实际生活中的裁剪问题结合，既考查了算术平方根的计算和实数的估算能力，也需要结合实际情况分析裁剪方案，不能仅通过剩余面积除以单块木条面积得到结果，要考虑边长的实际限制。
【难度系数】
0.65
解决本题的思路分为三步：第一步，根据正方形面积与边长的关系，求出两个正方形的边长；第二步，结合图形确定剩余木料的形状和长、宽尺寸；第三步，结合木条的长、宽，分别判断剩余木料的长、宽方向最多可放置的木条数量，两者相乘得到总数量，注意裁剪时木料不能拼接，要按实际边长判断，不能仅用面积相除计算。
【解析】
解：首先计算两个正方形的边长：
面积为$18\ \mathrm{dm}^2$的正方形边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4.24\ \mathrm{dm}$
面积为$32\ \mathrm{dm}^2$的正方形边长：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx5.66\ \mathrm{dm}$
由图可知，剩余木料为长方形，它的长等于小正方形的边长≈4.24dm，宽为两个正方形的边长差：
$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx1.41\ \mathrm{dm}$
已知木条长1.5dm、宽1dm：
1. 剩余长方形的宽≈1.41dm，小于木条的长1.5dm，因此木条的宽（1dm）只能沿剩余长方形的宽方向放置，且$2×1=2＞1.41$，宽方向最多只能放1层木条；
2. 剩余长方形的长≈4.24dm，$1.5×2=3＜4.24$，$1.5×3=4.5＞4.24$，因此长方向最多可以放2个木条。
总数量：$1×2=2$（块）
【答案】
2块
【知识点】
算术平方根，实数估算，长方形裁剪
【点评】
本题将实数运算和实际生活中的裁剪问题结合，既考查了算术平方根的计算和实数的估算能力，也需要结合实际情况分析裁剪方案，不能仅通过剩余面积除以单块木条面积得到结果，要考虑边长的实际限制。
【难度系数】
0.65
