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9.某次会议上，每两名参会者都相互握手一次，经统计共握手28次，设有x人参加了这次会议，则可列方程为
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
。答案
9. $\frac{1}{2}x(x-1)=28$
解析
【分析】
解决这道握手问题的思路可以分为三步：首先明确每人的握手次数，总共有x人参会，每个人不能和自己握手，因此每人要和其余(x-1)人各握手1次；接着注意重复计数的问题，如果直接用x乘(x-1)计算总次数，每一次握手会被两个人各统计1次，相当于重复计算了2倍；最后结合已知的总握手次数28次，就能列出正确的方程。
【解析】
1. 计算未去重的总握手次数：共有x名参会者，每人与其余(x-1)人各握手1次，因此不考虑重复时的总握手次数为$x(x-1)$次。
2. 修正重复计数：每一次握手对应2名参会者，上述计算中每一次握手都被统计了2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次。
3. 结合题意列方程：已知实际共握手28次，因此可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=28$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 握手问题计数
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题关键是理解两两互动类问题中重复计数的逻辑，掌握该类问题的通用计数公式，就能快速完成列方程的要求。
【难度系数】
0.8
解决这道握手问题的思路可以分为三步：首先明确每人的握手次数，总共有x人参会，每个人不能和自己握手，因此每人要和其余(x-1)人各握手1次；接着注意重复计数的问题，如果直接用x乘(x-1)计算总次数，每一次握手会被两个人各统计1次，相当于重复计算了2倍；最后结合已知的总握手次数28次，就能列出正确的方程。
【解析】
1. 计算未去重的总握手次数：共有x名参会者，每人与其余(x-1)人各握手1次，因此不考虑重复时的总握手次数为$x(x-1)$次。
2. 修正重复计数：每一次握手对应2名参会者，上述计算中每一次握手都被统计了2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次。
3. 结合题意列方程：已知实际共握手28次，因此可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=28$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 握手问题计数
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题关键是理解两两互动类问题中重复计数的逻辑，掌握该类问题的通用计数公式，就能快速完成列方程的要求。
【难度系数】
0.8
10.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个，第三个月新建了363个。设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为
$300(1+x)^2=363$
。答案
10. $300(1+x)^2=363$
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的计算公式：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为$a(1+x)^n$。接下来确定本题的对应量：初始量是第一个月新建的300个充电桩，从第一个月到第三个月一共经历了2次增长（第一次增长到第二个月，第二次增长到第三个月），最终量是第三个月新建的363个充电桩，将对应量代入公式即可列出方程。
【解析】
解：已知第一个月新建充电桩数量为300个，月平均增长率为x。
1. 计算第二个月的新建数量：在第一个月的基础上增长x，因此第二个月新建数量为$300(1+x)$个；
2. 计算第三个月的新建数量：在第二个月的基础上再增长x，因此第三个月新建数量为$300(1+x) × (1+x) = 300(1+x)^2$个；
3. 已知第三个月新建了363个，因此可列方程为$300(1+x)^2=363$。
【答案】
$300(1+x)^2=363$
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
这是典型的增长率类基础应用题，解题的核心是找准初始量、最终量和增长次数，熟记增长率的计算公式即可快速解题，是该类知识点的常见考法。
【难度系数】
0.85
本题属于平均增长率类的应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的计算公式：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为$a(1+x)^n$。接下来确定本题的对应量：初始量是第一个月新建的300个充电桩，从第一个月到第三个月一共经历了2次增长（第一次增长到第二个月，第二次增长到第三个月），最终量是第三个月新建的363个充电桩，将对应量代入公式即可列出方程。
【解析】
解：已知第一个月新建充电桩数量为300个，月平均增长率为x。
1. 计算第二个月的新建数量：在第一个月的基础上增长x，因此第二个月新建数量为$300(1+x)$个；
2. 计算第三个月的新建数量：在第二个月的基础上再增长x，因此第三个月新建数量为$300(1+x) × (1+x) = 300(1+x)^2$个；
3. 已知第三个月新建了363个，因此可列方程为$300(1+x)^2=363$。
【答案】
$300(1+x)^2=363$
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
这是典型的增长率类基础应用题，解题的核心是找准初始量、最终量和增长次数，熟记增长率的计算公式即可快速解题，是该类知识点的常见考法。
【难度系数】
0.85
11.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)。
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，它的面积为640 m²？
(2)羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，它的面积为640 m²？
(2)羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
答案
11.解:(1)设矩形ABCD的边AB=x m,则边BC=70−2x+2=(72−2x)m。
根据题意,得x(72−2x)=640。
化简,得$x^2−36x+320=0$。
解得$x_1=16,x_2=20$。
当x=16时,72−2x=72−32=40(m)；
当x=20时,72−2x=72−40=32(m)。
∴当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时,它的面积为640 m²。
(2)不能。
理由:由题意,得x(72−2x)=650。
化简,得$x^2−36x+325=0$。
$\Delta=(-36)^2-4×325=-4＜0$,
此时一元二次方程没有实数根。
∴羊圈的面积不能达到650 m²。
根据题意,得x(72−2x)=640。
化简,得$x^2−36x+320=0$。
解得$x_1=16,x_2=20$。
当x=16时,72−2x=72−32=40(m)；
当x=20时,72−2x=72−40=32(m)。
∴当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时,它的面积为640 m²。
(2)不能。
理由:由题意,得x(72−2x)=650。
化简,得$x^2−36x+325=0$。
$\Delta=(-36)^2-4×325=-4＜0$,
此时一元二次方程没有实数根。
∴羊圈的面积不能达到650 m²。
解析
【分析】
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用。解题思路如下：首先明确栅栏的使用规则：垂直于外墙的边有2条，平行于外墙的边有2m宽的门不需要栅栏，因此平行边的长度=栅栏总长-2条垂直边的长度+门的宽度。(1)问设垂直于墙的边长为未知数，正确表示出平行边的长度后，根据矩形面积公式列方程，求解后验证解符合实际即可得到长和宽；(2)问同样根据面积列方程，通过计算一元二次方程根的判别式，判断方程是否有实数根，即可确定面积能否达到650 m²。
【解析】
(1)设矩形ABCD的边AB长为$x$ m，则边BC的长度为$70-2x+2=(72-2x)$ m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72-2x)=640$
化简得：$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16,x_2=20$
当$x=16$时，$72-2x=72-32=40$（m）；
当$x=20$时，$72-2x=72-40=32$（m）。
(2)不能，理由如下：
若羊圈面积为$650\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72-2x)=650$
化简得：$x^2-36x+325=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长。
【答案】
(1)当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，它的面积为640 m²；
(2)不能，对应的一元二次方程无实数根，不存在符合要求的设计方案。
【知识点】
一元二次方程应用、一元二次方程求解、根的判别式应用
【点评】
本题解题的关键是结合栅栏和门的设置，正确表示出矩形的两条边长，再根据面积关系列方程求解；判断面积能否达到指定值时，可通过根的判别式判断方程是否有实根，从而快速得到结论。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用。解题思路如下：首先明确栅栏的使用规则：垂直于外墙的边有2条，平行于外墙的边有2m宽的门不需要栅栏，因此平行边的长度=栅栏总长-2条垂直边的长度+门的宽度。(1)问设垂直于墙的边长为未知数，正确表示出平行边的长度后，根据矩形面积公式列方程，求解后验证解符合实际即可得到长和宽；(2)问同样根据面积列方程，通过计算一元二次方程根的判别式，判断方程是否有实数根，即可确定面积能否达到650 m²。
【解析】
(1)设矩形ABCD的边AB长为$x$ m，则边BC的长度为$70-2x+2=(72-2x)$ m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72-2x)=640$
化简得：$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16,x_2=20$
当$x=16$时，$72-2x=72-32=40$（m）；
当$x=20$时，$72-2x=72-40=32$（m）。
(2)不能，理由如下：
若羊圈面积为$650\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72-2x)=650$
化简得：$x^2-36x+325=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的边长。
【答案】
(1)当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，它的面积为640 m²；
(2)不能，对应的一元二次方程无实数根，不存在符合要求的设计方案。
【知识点】
一元二次方程应用、一元二次方程求解、根的判别式应用
【点评】
本题解题的关键是结合栅栏和门的设置，正确表示出矩形的两条边长，再根据面积关系列方程求解；判断面积能否达到指定值时，可通过根的判别式判断方程是否有实根，从而快速得到结论。
【难度系数】
0.7
12.端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是两位调查员的对话：
小王:该水果的进价是每千克22元。
小李:当售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，则每天的销售量将增加120千克。
根据他们的对话，解决下面所给问题:该水果超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价格为每千克多少元。
小王:该水果的进价是每千克22元。
小李:当售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，则每天的销售量将增加120千克。
根据他们的对话，解决下面所给问题:该水果超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价格为每千克多少元。
答案
12.解:设这种水果每千克降低x元,该水果超市每天可获得销售利润3 640元。由题意,得
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3 640$。
整理,得$x^2-12x+27=0$,
解得$x=3$或$x=9$。
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴$x=9$,
此时这种水果的销售价格为$38-9=29$(元/千克)。
∴这种水果的销售价格为每千克29元。
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3 640$。
整理,得$x^2-12x+27=0$,
解得$x=3$或$x=9$。
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴$x=9$,
此时这种水果的销售价格为$38-9=29$(元/千克)。
∴这种水果的销售价格为每千克29元。
解析
【分析】
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单千克利润×销售总量”的等量关系。思考步骤如下：第一步，设每千克降价x元作为未知数，便于后续表示售价和销量；第二步，分别表示出降价后的单千克利润：原售价38元减降价x元再减进价22元；第三步，表示出降价后的总销售量：原销量160千克加上降价带来的新增销量，每降3元多卖120千克，因此降x元的新增销量为$\frac{x}{3}×120$千克；第四步，将单千克利润和总销量相乘等于总利润3640元列方程，解方程后结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择降价更多的解，最后计算实际售价即可。
【解析】
解：设这种水果每千克降低x元，该水果超市每天可获得销售利润3640元。
由题意得：$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3640$
整理得：$x^2-12x+27=0$
因式分解得：$(x-3)(x-9)=0$
解得：$x=3$或$x=9$
∵要尽可能让顾客得到实惠，即降价幅度越大越好
∴选取$x=9$
此时水果的销售价格为：$38-9=29$（元/千克）
【答案】
这种水果的销售价格为每千克29元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的生活场景类一元二次方程应用题，解题关键是找准利润相关的等量关系，正确列出方程，同时需要结合题目的实际限制条件选取符合要求的解，避免忽略实际意义导致错解。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单千克利润×销售总量”的等量关系。思考步骤如下：第一步，设每千克降价x元作为未知数，便于后续表示售价和销量；第二步，分别表示出降价后的单千克利润：原售价38元减降价x元再减进价22元；第三步，表示出降价后的总销售量：原销量160千克加上降价带来的新增销量，每降3元多卖120千克，因此降x元的新增销量为$\frac{x}{3}×120$千克；第四步，将单千克利润和总销量相乘等于总利润3640元列方程，解方程后结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择降价更多的解，最后计算实际售价即可。
【解析】
解：设这种水果每千克降低x元，该水果超市每天可获得销售利润3640元。
由题意得：$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3640$
整理得：$x^2-12x+27=0$
因式分解得：$(x-3)(x-9)=0$
解得：$x=3$或$x=9$
∵要尽可能让顾客得到实惠，即降价幅度越大越好
∴选取$x=9$
此时水果的销售价格为：$38-9=29$（元/千克）
【答案】
这种水果的销售价格为每千克29元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的生活场景类一元二次方程应用题，解题关键是找准利润相关的等量关系，正确列出方程，同时需要结合题目的实际限制条件选取符合要求的解，避免忽略实际意义导致错解。
【难度系数】
0.7
