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9.用配方法解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$，配方后得到的方程是（
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
D
）。A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
答案
D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，即可得到配方后的方程。本题二次项系数已经是1，直接按后两步操作即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x +8=0$进行移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 6x = -8$
一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，给方程左右两边同时加9：
$x^2 - 6x + 9 = -8 + 9$
根据完全平方公式，左侧可整理为$(x-3)^2$，右侧计算得1，因此配方后得到的方程为：
$(x-3)^2 = 1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法中“凑完全平方”的操作规则，熟练掌握该知识点是后续用配方法求解一元二次方程、求代数式最值的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，即可得到配方后的方程。本题二次项系数已经是1，直接按后两步操作即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x +8=0$进行移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 6x = -8$
一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，给方程左右两边同时加9：
$x^2 - 6x + 9 = -8 + 9$
根据完全平方公式，左侧可整理为$(x-3)^2$，右侧计算得1，因此配方后得到的方程为：
$(x-3)^2 = 1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法中“凑完全平方”的操作规则，熟练掌握该知识点是后续用配方法求解一元二次方程、求代数式最值的基础。
【难度系数】
0.8
10.如果关于$x$的方程$(x-2)^2=1-m$无实数根，那么$m$满足的条件是（
A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m＞1$
D.$m＜1$
C
）。A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m＞1$
D.$m＜1$
答案
C
解析
【分析】
解题时可结合平方的性质推导：首先任意实数的平方都是非负数，因此方程左侧的$(x-2)^2$取值一定大于等于0。如果方程没有实数根，说明等号右侧的代数式的值小于0，据此列出关于m的不等式并求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对任意实数x，都有$(x-2)^2 ≥ 0$，
若方程$(x-2)^2=1-m$无实数根，说明等号右侧的数值小于0，可得：
$1-m ＜ 0$
移项解得：$m ＞ 1$
因此m满足的条件是$m＞1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握平方数的非负性，结合直接开平方法解一元二次方程的适用条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可结合平方的性质推导：首先任意实数的平方都是非负数，因此方程左侧的$(x-2)^2$取值一定大于等于0。如果方程没有实数根，说明等号右侧的代数式的值小于0，据此列出关于m的不等式并求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对任意实数x，都有$(x-2)^2 ≥ 0$，
若方程$(x-2)^2=1-m$无实数根，说明等号右侧的数值小于0，可得：
$1-m ＜ 0$
移项解得：$m ＞ 1$
因此m满足的条件是$m＞1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握平方数的非负性，结合直接开平方法解一元二次方程的适用条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如果一元二次方程$x^2 -4x +k=0$经配方后，得$(x-2)^2=1$，那么$k=$
3
。答案
3
解析
【分析】
解题可从两个方向入手：方法一，将已知配方后的方程$(x-2)^2=1$展开整理为一元二次方程的一般形式，和题干给出的原方程对比对应项系数，即可求出$k$的值；方法二，对原方程$x^2-4x+k=0$按照配方法步骤自行配方，和题干给出的配方结果对比，建立关于$k$的方程求解即可，两种方法都直观易懂，可选择自己熟悉的方式计算。
【解析】
方法1：展开配方后的方程计算
将$(x-2)^2=1$的左边用完全平方公式展开，得：
$x^2 - 4x + 4 = 1$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 4x + 3 = 0$
和原方程$x^2 -4x +k=0$对比，常数项对应相等，因此$k=3$。
方法2：对原方程配方后对比计算
对原方程$x^2 -4x +k=0$移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = -k$
方程两边同时加一次项系数一半的平方（一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$），得：
$x^2 -4x +4 = 4 -k$
左边整理为完全平方形式：$(x-2)^2 = 4 -k$
已知配方后结果为$(x-2)^2=1$，因此可得：
$4 -k =1$
解得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，既可以正向配方求解，也可以反向展开计算，熟练掌握配方法的步骤和完全平方公式就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题可从两个方向入手：方法一，将已知配方后的方程$(x-2)^2=1$展开整理为一元二次方程的一般形式，和题干给出的原方程对比对应项系数，即可求出$k$的值；方法二，对原方程$x^2-4x+k=0$按照配方法步骤自行配方，和题干给出的配方结果对比，建立关于$k$的方程求解即可，两种方法都直观易懂，可选择自己熟悉的方式计算。
【解析】
方法1：展开配方后的方程计算
将$(x-2)^2=1$的左边用完全平方公式展开，得：
$x^2 - 4x + 4 = 1$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 4x + 3 = 0$
和原方程$x^2 -4x +k=0$对比，常数项对应相等，因此$k=3$。
方法2：对原方程配方后对比计算
对原方程$x^2 -4x +k=0$移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = -k$
方程两边同时加一次项系数一半的平方（一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$），得：
$x^2 -4x +4 = 4 -k$
左边整理为完全平方形式：$(x-2)^2 = 4 -k$
已知配方后结果为$(x-2)^2=1$，因此可得：
$4 -k =1$
解得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，既可以正向配方求解，也可以反向展开计算，熟练掌握配方法的步骤和完全平方公式就能快速解答。
【难度系数】
0.9
12. 小菲同学解方程 $x^2 + 4x + \frac{7}{4} = 0$ 的步骤如下：
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$。 第一步
配方，得 $(x+2)^2 = \frac{9}{4}$。 第二步
两边开方，得 $x+2 = \frac{3}{2}$。 第三步
所以 $x = -\frac{1}{2}$。 第四步
(1) 上述过程，错在步骤
(2) 请写出正确的解答过程。
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$。 第一步
配方，得 $(x+2)^2 = \frac{9}{4}$。 第二步
两边开方，得 $x+2 = \frac{3}{2}$。 第三步
所以 $x = -\frac{1}{2}$。 第四步
(1) 上述过程，错在步骤
三
，原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数，而第三步只得出一个正数
；(2) 请写出正确的解答过程。
答案
(1)三 正数的平方根有两个，它们互为相反数，而第三步只得出一个正数
(2)$x^2 + 4x + \frac{7}{4} = 0$，
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$。
配方，得$(x+2)^2=\frac{9}{4}$。
两边开方，得$x+2=\pm\frac{3}{2}$。
所以$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$。
(2)$x^2 + 4x + \frac{7}{4} = 0$，
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$。
配方，得$(x+2)^2=\frac{9}{4}$。
两边开方，得$x+2=\pm\frac{3}{2}$。
所以$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
第(1)问需按照配方法解一元二次方程的步骤逐一核对：首先移项是将常数项移到等号右侧，第一步操作正确；配方时给等式左右两边同时加一次项系数一半的平方，第二步计算也正确；到开平方步骤时，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，原步骤只取了正的平方根，因此错误出在第三步。第(2)问只需修正开平方的错误，补充负的平方根后分别求解两个一元一次方程即可得到全部根。
【解析】
(1) 逐步骤核验：
第一步移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$，操作正确；
第二步配方：等号两侧同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，左侧整理为$(x+2)^2$，右侧计算得$-\frac{7}{4}+4=\frac{9}{4}$，操作正确；
第三步开方：正数$\frac{9}{4}$的平方根为$\pm\frac{3}{2}$，原步骤仅写出$x+2=\frac{3}{2}$，漏掉了负的平方根，因此该步骤错误。
(2) 正确解答过程：
$x^2 + 4x + \frac{7}{4} = 0$
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$
配方，得$(x+2)^2=\frac{9}{4}$
两边开方，得$x+2=\pm\frac{3}{2}$
分别求解：当$x+2=\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{1}{2}$；当$x+2=-\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) 三；正数的平方根有两个，它们互为相反数，而第三步只得出一个正数
(2) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$，正确过程如下：
$x^2 + 4x + \frac{7}{4} = 0$
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$
配方，得$(x+2)^2=\frac{9}{4}$
两边开方，得$x+2=\pm\frac{3}{2}$
所以$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范操作，易错点为开平方时容易漏掉负数平方根导致漏解，熟练掌握配方法步骤和平方根的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
第(1)问需按照配方法解一元二次方程的步骤逐一核对：首先移项是将常数项移到等号右侧，第一步操作正确；配方时给等式左右两边同时加一次项系数一半的平方，第二步计算也正确；到开平方步骤时，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，原步骤只取了正的平方根，因此错误出在第三步。第(2)问只需修正开平方的错误，补充负的平方根后分别求解两个一元一次方程即可得到全部根。
【解析】
(1) 逐步骤核验：
第一步移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$，操作正确；
第二步配方：等号两侧同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，左侧整理为$(x+2)^2$，右侧计算得$-\frac{7}{4}+4=\frac{9}{4}$，操作正确；
第三步开方：正数$\frac{9}{4}$的平方根为$\pm\frac{3}{2}$，原步骤仅写出$x+2=\frac{3}{2}$，漏掉了负的平方根，因此该步骤错误。
(2) 正确解答过程：
$x^2 + 4x + \frac{7}{4} = 0$
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$
配方，得$(x+2)^2=\frac{9}{4}$
两边开方，得$x+2=\pm\frac{3}{2}$
分别求解：当$x+2=\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{1}{2}$；当$x+2=-\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) 三；正数的平方根有两个，它们互为相反数，而第三步只得出一个正数
(2) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$，正确过程如下：
$x^2 + 4x + \frac{7}{4} = 0$
移项，得 $x^2 + 4x = -\frac{7}{4}$
配方，得$(x+2)^2=\frac{9}{4}$
两边开方，得$x+2=\pm\frac{3}{2}$
所以$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范操作，易错点为开平方时容易漏掉负数平方根导致漏解，熟练掌握配方法步骤和平方根的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
13. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 8 = 0$；
(2)$x^2 - 5x = 6$；
(3)$x^2 + 6x = -3$；
(4)$8x + 16 = -x^2$；
(5)$x^2 = 4x + 4$；
(6)$x^2 - \frac{7}{3}x + 1 = 0$。
(1)$x^2 - 2x - 8 = 0$；
(2)$x^2 - 5x = 6$；
(3)$x^2 + 6x = -3$；
(4)$8x + 16 = -x^2$；
(5)$x^2 = 4x + 4$；
(6)$x^2 - \frac{7}{3}x + 1 = 0$。
答案
(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=6,x_2=-1$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=x_2=-4$
(5)$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
(6)$x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$
(2)$x_1=6,x_2=-1$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=x_2=-4$
(5)$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
(6)$x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解。具体思考步骤：①先将方程整理为含未知数的项在等号左侧、常数项在等号右侧的形式；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并为常数；④若右侧常数非负，直接开平方求出方程的根，若右侧为负则方程无实根（本题右侧均非负）。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 2x = 8$，
配方，两边加1（一次项系数-2的一半的平方），得 $x^2 -2x +1 = 8+1$，
即 $(x-1)^2 =9$，
开平方，得 $x-1 = \pm3$，
解得 $x_1=4, x_2=-2$。
(2) 方程已整理为 $x^2 -5x =6$，
配方，两边加$\frac{25}{4}$（一次项系数-5的一半的平方），得 $x^2 -5x +\frac{25}{4} =6 +\frac{25}{4}$，
即 $(x-\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$，
开平方，得 $x-\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
解得 $x_1=6, x_2=-1$。
(3) 方程已整理为 $x^2 +6x = -3$，
配方，两边加9（一次项系数6的一半的平方），得 $x^2 +6x +9 = -3 +9$，
即 $(x+3)^2=6$，
开平方，得 $x+3=\pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1=-3+\sqrt{6}, x_2=-3-\sqrt{6}$。
(4) 移项整理，得 $x^2 +8x = -16$，
配方，两边加16（一次项系数8的一半的平方），得 $x^2 +8x +16 = -16 +16$，
即 $(x+4)^2=0$，
开平方，得 $x+4=0$，
解得 $x_1=x_2=-4$。
(5) 移项，得 $x^2 -4x =4$，
配方，两边加4（一次项系数-4的一半的平方），得 $x^2 -4x +4 =4 +4$，
即 $(x-2)^2=8$，
开平方，得 $x-2=\pm2\sqrt{2}$，
解得 $x_1=2+2\sqrt{2}, x_2=2-2\sqrt{2}$。
(6) 移项，得 $x^2 - \frac{7}{3}x = -1$，
配方，两边加$\frac{49}{36}$（一次项系数$-\frac{7}{3}$的一半的平方），得 $x^2 - \frac{7}{3}x +\frac{49}{36} = -1 +\frac{49}{36}$，
即 $(x-\frac{7}{6})^2=\frac{13}{36}$，
开平方，得 $x-\frac{7}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$，
解得 $x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6}, x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=6,x_2=-1$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=x_2=-4$
(5)$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
(6)$x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的步骤，特别注意配方时加的是一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏负根，计算含分数的系数时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解。具体思考步骤：①先将方程整理为含未知数的项在等号左侧、常数项在等号右侧的形式；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并为常数；④若右侧常数非负，直接开平方求出方程的根，若右侧为负则方程无实根（本题右侧均非负）。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 2x = 8$，
配方，两边加1（一次项系数-2的一半的平方），得 $x^2 -2x +1 = 8+1$，
即 $(x-1)^2 =9$，
开平方，得 $x-1 = \pm3$，
解得 $x_1=4, x_2=-2$。
(2) 方程已整理为 $x^2 -5x =6$，
配方，两边加$\frac{25}{4}$（一次项系数-5的一半的平方），得 $x^2 -5x +\frac{25}{4} =6 +\frac{25}{4}$，
即 $(x-\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$，
开平方，得 $x-\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
解得 $x_1=6, x_2=-1$。
(3) 方程已整理为 $x^2 +6x = -3$，
配方，两边加9（一次项系数6的一半的平方），得 $x^2 +6x +9 = -3 +9$，
即 $(x+3)^2=6$，
开平方，得 $x+3=\pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1=-3+\sqrt{6}, x_2=-3-\sqrt{6}$。
(4) 移项整理，得 $x^2 +8x = -16$，
配方，两边加16（一次项系数8的一半的平方），得 $x^2 +8x +16 = -16 +16$，
即 $(x+4)^2=0$，
开平方，得 $x+4=0$，
解得 $x_1=x_2=-4$。
(5) 移项，得 $x^2 -4x =4$，
配方，两边加4（一次项系数-4的一半的平方），得 $x^2 -4x +4 =4 +4$，
即 $(x-2)^2=8$，
开平方，得 $x-2=\pm2\sqrt{2}$，
解得 $x_1=2+2\sqrt{2}, x_2=2-2\sqrt{2}$。
(6) 移项，得 $x^2 - \frac{7}{3}x = -1$，
配方，两边加$\frac{49}{36}$（一次项系数$-\frac{7}{3}$的一半的平方），得 $x^2 - \frac{7}{3}x +\frac{49}{36} = -1 +\frac{49}{36}$，
即 $(x-\frac{7}{6})^2=\frac{13}{36}$，
开平方，得 $x-\frac{7}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$，
解得 $x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6}, x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=6,x_2=-1$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=x_2=-4$
(5)$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
(6)$x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的步骤，特别注意配方时加的是一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏负根，计算含分数的系数时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
