1. 若正方形的周长为 16，则其对角线长为.

$4\sqrt{2}$。

已知正方形的周长为16，由于正方形四边相等，所以每边长度 $a = \frac{16}{4} = 4$，由勾股定理对角线长度$d$满足$d^2 = a^2 + a^2$，代入$a=4$得$d^2 = 4^2 + 4 ^2 = 32$，解得$d = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。

2. 正方形 ABCD 的边长为 3，E，F 分别是对角线上的两点，过点 E，F 分别作 AD，AB 的平行线，如图，则图中阴影部分的面积等于.

9/2

正方形ABCD边长为3，面积为9。由于E、F在对角线上，过E、F作AD、AB的平行线，根据正方形对称性，阴影部分面积为正方形面积的一半，即9/2。

3. 如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4，点 E 在边 BC 上，BE = 1. 若 F，G 分别是 AE，AD 的中点，则 FG 的长为.

2.5

连接ED。
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AD=AB=4，∠ABE=90°。
∵BE=1，
∴EC=BC-BE=4-1=3。
在Rt△DCE中，DC=4，EC=3，
∴ED=√(DC²+EC²)=√(4²+3²)=5。
∵F，G分别是AE，AD的中点，
∴FG是△AED的中位线，
∴FG=1/2ED=1/2×5=2.5。

4. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，AB 平行于 x 轴. 若顶点 A 的坐标是 (-1,1)，则顶点 C 的坐标是.

(3,5)

∵正方形ABCD边长为4，AB平行于x轴，A(-1,1)
∴AB在直线y=1上，AB=4，AD=4
∵AB平行x轴，B在A右侧
∴B点横坐标：-1+4=3，B(3,1)
∵AD垂直AB，AD=4，D在A上方
∴D点纵坐标：1+4=5，D(-1,5)
∵C与B横坐标相同，与D纵坐标相同
∴C(3,5)

5. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，点 F 在边 BC 的延长线上，且 ∠EDF = 90°. 求证 DE = DF.

证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCF=180°-∠BCD=90°，即∠A=∠DCF.
∵∠EDF=90°，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，即∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠DCF，
AD=CD，
∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF.

6. 提升题 如图，在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，H 是 AF 的中点.
(1) 求证 CH = $\frac{1}{2}$AF；
(2) 若 BC = 1，CE = 3，求 CH 的长.

(2) CH的长为√5。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴ ∠ACB=45°（正方形对角线平分内角），∠ECF=45°（正方形对角线平分内角），且B、C、E共线（公共顶点C，邻边共线）。
∴ ∠ACE=180°-∠ACB=135°，
∴ ∠ACF=∠ACE-∠ECF=135°-45°=90°，即△ACF是直角三角形。
∵ H是AF的中点，
∴ CH=1/2AF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
(2) 解：
∵ BC=1，四边形ABCD是正方形，
∴ AC=√(BC²+AB²)=√(1²+1²)=√2。
∵ CE=3，四边形CEFG是正方形，
∴ CF=√(CE²+EF²)=√(3²+3²)=3√2。
在Rt△ACF中，AF=√(AC²+CF²)=√[(√2)²+(3√2)²]=√(2+18)=√20=2√5。
∵ CH=1/2AF，
∴ CH=√5。