登录
12. 如图，一个正方形被分割成两个小正方形和两个小长方形，其中两个小正方形的面积分别为$S$和$2S$.求图中每个长方形的面积.
答案
12. 长方形的长为$\sqrt{2S}$，宽为$\sqrt{S}$，面积为$\sqrt{2}S$
解析
【分析】
首先，根据正方形面积与边长的关系，可由小正方形的面积求出对应边长；观察图形可知，两个小正方形的边长分别是长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式计算即可。思考时需先明确正方形边长和面积的关系，再结合图形确定长方形的长和宽，进而计算面积。
【解析】
1. 求面积为$S$的小正方形的边长：
设该小正方形边长为$a$，由正方形面积公式$面积=边长^2$，可得$a^2=S$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{S}$。
2. 求面积为$2S$的小正方形的边长：
设该小正方形边长为$b$，同理可得$b^2=2S$，则$b=\sqrt{2S}$。
3. 计算长方形的面积：
由图形可知，长方形的长为$\sqrt{2S}$，宽为$\sqrt{S}$，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，可得：
长方形面积$=\sqrt{2S}×\sqrt{S}=\sqrt{2S×S}=\sqrt{2S^2}=\sqrt{2}S$。
【答案】
$\sqrt{2}S$
【知识点】
正方形面积公式，长方形面积公式，二次根式运算
【点评】
本题核心是利用正方形面积与边长的关系确定长方形的长和宽，同时考查二次根式的乘法运算，解题关键是准确结合图形分析边长与长、宽的对应关系。
【难度系数】
0.6
首先，根据正方形面积与边长的关系，可由小正方形的面积求出对应边长；观察图形可知，两个小正方形的边长分别是长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式计算即可。思考时需先明确正方形边长和面积的关系，再结合图形确定长方形的长和宽，进而计算面积。
【解析】
1. 求面积为$S$的小正方形的边长：
设该小正方形边长为$a$，由正方形面积公式$面积=边长^2$，可得$a^2=S$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{S}$。
2. 求面积为$2S$的小正方形的边长：
设该小正方形边长为$b$，同理可得$b^2=2S$，则$b=\sqrt{2S}$。
3. 计算长方形的面积：
由图形可知，长方形的长为$\sqrt{2S}$，宽为$\sqrt{S}$，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，可得：
长方形面积$=\sqrt{2S}×\sqrt{S}=\sqrt{2S×S}=\sqrt{2S^2}=\sqrt{2}S$。
【答案】
$\sqrt{2}S$
【知识点】
正方形面积公式，长方形面积公式，二次根式运算
【点评】
本题核心是利用正方形面积与边长的关系确定长方形的长和宽，同时考查二次根式的乘法运算，解题关键是准确结合图形分析边长与长、宽的对应关系。
【难度系数】
0.6
13. 计算下列各式：
（1）$-3\sqrt{27} × 2\sqrt{3}$；
（2）$\sqrt{2xy^{2}} · \sqrt{4x^{2}y}$（$x ≥ 0$，$y ≥ 0$）；
（3）$\frac{1}{3}\sqrt{30} × 40\sqrt{\frac{1}{2}} × \frac{3}{2}\sqrt{2\frac{2}{3}}$；
（4）$\sqrt{\frac{ab^{2}}{16}} · a\sqrt{a} · \sqrt{8b^{2}}$（$b ≥ 0$）.
（1）$-3\sqrt{27} × 2\sqrt{3}$；
（2）$\sqrt{2xy^{2}} · \sqrt{4x^{2}y}$（$x ≥ 0$，$y ≥ 0$）；
（3）$\frac{1}{3}\sqrt{30} × 40\sqrt{\frac{1}{2}} × \frac{3}{2}\sqrt{2\frac{2}{3}}$；
（4）$\sqrt{\frac{ab^{2}}{16}} · a\sqrt{a} · \sqrt{8b^{2}}$（$b ≥ 0$）.
答案
13.（1）-54 （2）$2xy^{2}\sqrt{2x}$ （3）$40\sqrt{10}$ （4）$\frac{a^{2}b^{2}\sqrt{2b}}{2}$
解析
【解析】
（1）先化简二次根式，再根据二次根式乘法法则计算：
$-3\sqrt{27} × 2\sqrt{3}=-3×3\sqrt{3}×2\sqrt{3}=(-3×2)×(3\sqrt{3}×\sqrt{3})=-6×9=-54$
（2）根据二次根式乘法法则，先将被开方数相乘，再化简：
$\sqrt{2xy^{2}} · \sqrt{4x^{2}y}=\sqrt{2xy^2·4x^2y}=\sqrt{8x^3y^3}=2xy^2\sqrt{2x}$（$x ≥ 0$，$y ≥ 0$）
（3）先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简：
$\frac{1}{3}\sqrt{30} × 40\sqrt{\frac{1}{2}} × \frac{3}{2}\sqrt{2\frac{2}{3}}=(\frac{1}{3}×40×\frac{3}{2})×\sqrt{30×\frac{1}{2}×\frac{8}{3}}=20×\sqrt{40}=20×2\sqrt{10}=40\sqrt{10}$
（4）先化简各二次根式，再根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{\frac{ab^{3}}{16}} · a\sqrt{a} · \sqrt{8b^{2}}=\frac{b\sqrt{ab}}{4}×a\sqrt{a}×2b\sqrt{2}=\frac{1}{2}a^2b^2\sqrt{2b}$（$b ≥ 0$）
【答案】
（1）$\boldsymbol{-54}$；（2）$\boldsymbol{2xy^{2}\sqrt{2x}}$；（3）$\boldsymbol{40\sqrt{10}}$；（4）$\boldsymbol{\frac{a^{2}b^{2}\sqrt{2b}}{2}}$
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的乘法运算，解题关键是熟练掌握二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），以及二次根式的化简方法，注意根据字母的取值范围确定化简结果的形式。
【难度系数】
0.6
（1）先化简二次根式，再根据二次根式乘法法则计算：
$-3\sqrt{27} × 2\sqrt{3}=-3×3\sqrt{3}×2\sqrt{3}=(-3×2)×(3\sqrt{3}×\sqrt{3})=-6×9=-54$
（2）根据二次根式乘法法则，先将被开方数相乘，再化简：
$\sqrt{2xy^{2}} · \sqrt{4x^{2}y}=\sqrt{2xy^2·4x^2y}=\sqrt{8x^3y^3}=2xy^2\sqrt{2x}$（$x ≥ 0$，$y ≥ 0$）
（3）先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简：
$\frac{1}{3}\sqrt{30} × 40\sqrt{\frac{1}{2}} × \frac{3}{2}\sqrt{2\frac{2}{3}}=(\frac{1}{3}×40×\frac{3}{2})×\sqrt{30×\frac{1}{2}×\frac{8}{3}}=20×\sqrt{40}=20×2\sqrt{10}=40\sqrt{10}$
（4）先化简各二次根式，再根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{\frac{ab^{3}}{16}} · a\sqrt{a} · \sqrt{8b^{2}}=\frac{b\sqrt{ab}}{4}×a\sqrt{a}×2b\sqrt{2}=\frac{1}{2}a^2b^2\sqrt{2b}$（$b ≥ 0$）
【答案】
（1）$\boldsymbol{-54}$；（2）$\boldsymbol{2xy^{2}\sqrt{2x}}$；（3）$\boldsymbol{40\sqrt{10}}$；（4）$\boldsymbol{\frac{a^{2}b^{2}\sqrt{2b}}{2}}$
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的乘法运算，解题关键是熟练掌握二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），以及二次根式的化简方法，注意根据字母的取值范围确定化简结果的形式。
【难度系数】
0.6
14. 关于二次根式有一个有趣的现象：$\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{2^{2} × 2}{3}} = \sqrt{2^{2} × \frac{2}{3}} = \sqrt{2^{2}} × \sqrt{\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.这里根号下的因数$2$经过适当演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如$\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$，…
（1）请你写一个可产生“穿墙”现象的数并进行验证.
（2）你能用含正整数$n$（$n ≥ 2$）的式子表示上述规律吗？证明你的结论.
（1）请你写一个可产生“穿墙”现象的数并进行验证.
（2）你能用含正整数$n$（$n ≥ 2$）的式子表示上述规律吗？证明你的结论.
答案
14.（1）$\sqrt{5\frac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^{2}× 5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$ （2）规律：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$（n为正整数，$n≥ 2$），证明：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$
解析
【分析】
1. 对于第（1）问：先观察题目给出的“穿墙”例子，发现规律：整数部分为$n$（$n≥2$）的带分数，分数部分的分子与整数部分相同，分母是整数部分的平方减1。据此可写出符合规律的数，再将带分数化为假分数，利用二次根式$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）的性质进行验证。
2. 对于第（2）问：根据第（1）问发现的规律，用含正整数$n$（$n≥2$）的式子表示规律，再通过将根号内的式子通分、合并化简，结合二次根式的性质完成证明。
【解析】
（1）写出可产生“穿墙”现象的数：$\sqrt{5\frac{5}{24}}$
验证过程：
$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5×24 + 5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}=\sqrt{5^2}×\sqrt{\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，符合“穿墙”现象。
（2）规律：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2 - 1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}$（$n$为正整数，$n≥2$）
证明：
左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n(n^2 - 1)+n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3 - n + n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}}=\sqrt{n^2×\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{n^2}×\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=$右边
故等式成立。
【答案】
（1）$\sqrt{5\frac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^{2}× 5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$（答案不唯一，符合规律即可）
（2）规律：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$（$n$为正整数，$n≥ 2$），证明：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$
【知识点】
二次根式的性质、分式通分化简、规律探究
【点评】
本题通过观察特殊例子归纳“穿墙”规律，考查了二次根式的性质及分式的运算，需要学生具备观察归纳能力和代数运算能力，有助于提升学生对代数式变形的理解与应用。
【难度系数】
0.6
1. 对于第（1）问：先观察题目给出的“穿墙”例子，发现规律：整数部分为$n$（$n≥2$）的带分数，分数部分的分子与整数部分相同，分母是整数部分的平方减1。据此可写出符合规律的数，再将带分数化为假分数，利用二次根式$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）的性质进行验证。
2. 对于第（2）问：根据第（1）问发现的规律，用含正整数$n$（$n≥2$）的式子表示规律，再通过将根号内的式子通分、合并化简，结合二次根式的性质完成证明。
【解析】
（1）写出可产生“穿墙”现象的数：$\sqrt{5\frac{5}{24}}$
验证过程：
$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5×24 + 5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}=\sqrt{5^2}×\sqrt{\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，符合“穿墙”现象。
（2）规律：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2 - 1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}$（$n$为正整数，$n≥2$）
证明：
左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n(n^2 - 1)+n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3 - n + n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}}=\sqrt{n^2×\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{n^2}×\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=$右边
故等式成立。
【答案】
（1）$\sqrt{5\frac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^{2}× 5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$（答案不唯一，符合规律即可）
（2）规律：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$（$n$为正整数，$n≥ 2$），证明：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$
【知识点】
二次根式的性质、分式通分化简、规律探究
【点评】
本题通过观察特殊例子归纳“穿墙”规律，考查了二次根式的性质及分式的运算，需要学生具备观察归纳能力和代数运算能力，有助于提升学生对代数式变形的理解与应用。
【难度系数】
0.6
