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20. 下面是小亮学习了“分式方程”后所做的课堂学习笔记，请阅读并完成问题.
(1)解法一所列方程中的$x$表示
(2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价；
(3)若商店计划用不超过$1440$元的资金购进甲、乙两种商品共$40$件，至多购进甲种商品多少件？
(1)解法一所列方程中的$x$表示
甲种商品每件的进价
，解法二所列方程中的$x$表示甲种商品购进的数量
；(2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价；
(3)若商店计划用不超过$1440$元的资金购进甲、乙两种商品共$40$件，至多购进甲种商品多少件？
答案
20. (1) 甲种商品每件的进价，甲种商品购进的数量 (2) 甲种商品进价50元/件，乙种商品进价30元/件 (3) 至多购买甲种商品12件
解析
【分析】
1. 第(1)问：结合两种解法的等量关系和方程形式判断$x$的含义，解法一利用“数量相等”列方程，数量=总价÷进价，因此$x$对应甲的进价；解法二利用“进价差20元”列方程，进价=总价÷数量，因此$x$对应甲的购进数量。
2. 第(2)问：分别按照两种解法的设元方式，解分式方程（注意检验），进而求出甲、乙商品的进价。
3. 第(3)问：设甲商品的购进数量，根据总资金不超过1440元列一元一次不等式，求解得到甲商品购进数量的最大值。
【解析】
(1) 解法一中，方程$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x-20}$依据“甲商品数量=乙商品数量”列出，数量=总价÷进价，因此$x$表示甲种商品每件的进价；
解法二中，方程$\frac{2000}{x}-\frac{1200}{x}=20$依据“甲商品进价-乙商品进价=20”列出，进价=总价÷数量，因此$x$表示甲种商品购进的数量。
(2) ① 用解法一求解：
设甲种商品每件的进价为$x$元，则乙种商品每件的进价为$(x-20)$元。
根据题意列方程：$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x-20}$
交叉相乘得：$2000(x-20)=1200x$
展开得：$2000x - 40000 = 1200x$
移项合并同类项得：$800x = 40000$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x-20)=50×30=1500≠0$，故$x=50$是原分式方程的解。
则乙种商品每件的进价为$50-20=30$（元）。
② 用解法二求解：
设甲种商品购进的数量为$x$件，则甲种商品每件的进价为$\frac{2000}{x}$元，乙种商品每件的进价为$\frac{1200}{x}$元。
根据题意列方程：$\frac{2000}{x}-\frac{1200}{x}=20$
合并左边得：$\frac{800}{x}=20$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x≠0$，故$x=40$是原分式方程的解。
则甲种商品每件的进价为$\frac{2000}{40}=50$（元），乙种商品每件的进价为$\frac{1200}{40}=30$（元）。
综上，甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元。
(3) 设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(40-m)$件。
根据总资金不超过1440元，列不等式：
$50m + 30(40 - m) ≤ 1440$
展开得：$50m + 1200 - 30m ≤ 1440$
移项合并同类项得：$20m ≤ 240$
解得：$m ≤ 12$
即至多购进甲种商品12件。
【答案】
(1) 甲种商品每件的进价；甲种商品购进的数量
(2) 甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元
(3) 至多购进甲种商品12件
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查分式方程与一元一次不等式的实际应用，解题关键是找准等量关系（或不等关系），正确设元并列出方程（或不等式），同时需注意分式方程必须检验，确保解符合实际意义。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：结合两种解法的等量关系和方程形式判断$x$的含义，解法一利用“数量相等”列方程，数量=总价÷进价，因此$x$对应甲的进价；解法二利用“进价差20元”列方程，进价=总价÷数量，因此$x$对应甲的购进数量。
2. 第(2)问：分别按照两种解法的设元方式，解分式方程（注意检验），进而求出甲、乙商品的进价。
3. 第(3)问：设甲商品的购进数量，根据总资金不超过1440元列一元一次不等式，求解得到甲商品购进数量的最大值。
【解析】
(1) 解法一中，方程$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x-20}$依据“甲商品数量=乙商品数量”列出，数量=总价÷进价，因此$x$表示甲种商品每件的进价；
解法二中，方程$\frac{2000}{x}-\frac{1200}{x}=20$依据“甲商品进价-乙商品进价=20”列出，进价=总价÷数量，因此$x$表示甲种商品购进的数量。
(2) ① 用解法一求解：
设甲种商品每件的进价为$x$元，则乙种商品每件的进价为$(x-20)$元。
根据题意列方程：$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x-20}$
交叉相乘得：$2000(x-20)=1200x$
展开得：$2000x - 40000 = 1200x$
移项合并同类项得：$800x = 40000$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x-20)=50×30=1500≠0$，故$x=50$是原分式方程的解。
则乙种商品每件的进价为$50-20=30$（元）。
② 用解法二求解：
设甲种商品购进的数量为$x$件，则甲种商品每件的进价为$\frac{2000}{x}$元，乙种商品每件的进价为$\frac{1200}{x}$元。
根据题意列方程：$\frac{2000}{x}-\frac{1200}{x}=20$
合并左边得：$\frac{800}{x}=20$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x≠0$，故$x=40$是原分式方程的解。
则甲种商品每件的进价为$\frac{2000}{40}=50$（元），乙种商品每件的进价为$\frac{1200}{40}=30$（元）。
综上，甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元。
(3) 设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(40-m)$件。
根据总资金不超过1440元，列不等式：
$50m + 30(40 - m) ≤ 1440$
展开得：$50m + 1200 - 30m ≤ 1440$
移项合并同类项得：$20m ≤ 240$
解得：$m ≤ 12$
即至多购进甲种商品12件。
【答案】
(1) 甲种商品每件的进价；甲种商品购进的数量
(2) 甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元
(3) 至多购进甲种商品12件
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查分式方程与一元一次不等式的实际应用，解题关键是找准等量关系（或不等关系），正确设元并列出方程（或不等式），同时需注意分式方程必须检验，确保解符合实际意义。
【难度系数】
0.6
21. 已知实数$a$，$b$，$c$满足$a＜0＜ b＜ c$，$a + b + c = k$，记$m=\frac{b + c}{a}$，$p=\frac{c + a}{b}$，$q=\frac{a + b}{c}$，且$m≥ q≥ p$. 证明：$k≤0$.
答案
21. 由$a + b + c = k$，得$b + c = k - a$，$c + a = k - b$，$a + b = k - c$，所以$m = \frac{k - a}{a} = \frac{k}{a} - 1$，$p = \frac{k}{b} - 1$，$q = \frac{k}{c} - 1$。因为$m ≥ q ≥ p$，所以$\frac{k}{a} ≥ \frac{k}{c} ≥ \frac{k}{b}$，所以$\frac{k}{a} - \frac{k}{c} = \frac{k(c - a)}{ac} ≥ 0$。因为$a ＜ 0 ＜ b ＜ c$，所以$c - a ＞ 0$，$ac ＜ 0$，所以$k ≤ 0$
解析
【分析】
首先，我们的核心思路是将已知的$m$、$p$、$q$通过$a+b+c=k$转化为含$k$的表达式，再利用$m≥q≥p$的大小关系结合$a＜0＜b＜c$的正负性推导$k$的范围。具体步骤为：先根据$a+b+c=k$把$b+c$、$c+a$、$a+b$替换成$k-a$、$k-b$、$k-c$，将$m$、$p$、$q$变形为$\frac{k}{a}-1$、$\frac{k}{b}-1$、$\frac{k}{c}-1$；再利用不等式的性质，由$m≥q≥p$得到$\frac{k}{a}≥\frac{k}{c}≥\frac{k}{b}$；最后对$\frac{k}{a}-\frac{k}{c}≥0$通分，结合$c-a＞0$、$ac＜0$的条件，即可推出$k≤0$。
【解析】
由$a + b + c = k$，可得：
$b + c = k - a$，$c + a = k - b$，$a + b = k - c$。
将其代入$m$、$p$、$q$的表达式：
$m = \frac{b + c}{a} = \frac{k - a}{a} = \frac{k}{a} - 1$，
$p = \frac{c + a}{b} = \frac{k - b}{b} = \frac{k}{b} - 1$，
$q = \frac{a + b}{c} = \frac{k - c}{c} = \frac{k}{c} - 1$。
因为$m ≥ q ≥ p$，代入得：
$\frac{k}{a} - 1 ≥ \frac{k}{c} - 1 ≥ \frac{k}{b} - 1$，
不等式两边同时加1，不等号方向不变，即：
$\frac{k}{a} ≥ \frac{k}{c} ≥ \frac{k}{b}$。
对$\frac{k}{a} ≥ \frac{k}{c}$移项通分：
$\frac{k}{a} - \frac{k}{c} = \frac{k(c - a)}{ac} ≥ 0$。
已知$a ＜ 0 ＜ b ＜ c$，则$c - a ＞ 0$（正数减负数结果为正），$ac ＜ 0$（异号两数相乘为负）。
要使$\frac{k(c - a)}{ac} ≥ 0$，由于$c - a ＞ 0$，$ac ＜ 0$，因此$k ≤ 0$。
【答案】
$k≤0$
【知识点】
分式恒等变形，不等式性质，有理数正负性分析
【点评】
本题重点考查分式变形与不等式性质的综合应用，解题关键是通过恒等变形将$m$、$p$、$q$转化为含$k$的形式，再结合有理数正负性分析不等式的符号，需要熟练掌握分式通分和不等式的基本性质。
【难度系数】
0.4
首先，我们的核心思路是将已知的$m$、$p$、$q$通过$a+b+c=k$转化为含$k$的表达式，再利用$m≥q≥p$的大小关系结合$a＜0＜b＜c$的正负性推导$k$的范围。具体步骤为：先根据$a+b+c=k$把$b+c$、$c+a$、$a+b$替换成$k-a$、$k-b$、$k-c$，将$m$、$p$、$q$变形为$\frac{k}{a}-1$、$\frac{k}{b}-1$、$\frac{k}{c}-1$；再利用不等式的性质，由$m≥q≥p$得到$\frac{k}{a}≥\frac{k}{c}≥\frac{k}{b}$；最后对$\frac{k}{a}-\frac{k}{c}≥0$通分，结合$c-a＞0$、$ac＜0$的条件，即可推出$k≤0$。
【解析】
由$a + b + c = k$，可得：
$b + c = k - a$，$c + a = k - b$，$a + b = k - c$。
将其代入$m$、$p$、$q$的表达式：
$m = \frac{b + c}{a} = \frac{k - a}{a} = \frac{k}{a} - 1$，
$p = \frac{c + a}{b} = \frac{k - b}{b} = \frac{k}{b} - 1$，
$q = \frac{a + b}{c} = \frac{k - c}{c} = \frac{k}{c} - 1$。
因为$m ≥ q ≥ p$，代入得：
$\frac{k}{a} - 1 ≥ \frac{k}{c} - 1 ≥ \frac{k}{b} - 1$，
不等式两边同时加1，不等号方向不变，即：
$\frac{k}{a} ≥ \frac{k}{c} ≥ \frac{k}{b}$。
对$\frac{k}{a} ≥ \frac{k}{c}$移项通分：
$\frac{k}{a} - \frac{k}{c} = \frac{k(c - a)}{ac} ≥ 0$。
已知$a ＜ 0 ＜ b ＜ c$，则$c - a ＞ 0$（正数减负数结果为正），$ac ＜ 0$（异号两数相乘为负）。
要使$\frac{k(c - a)}{ac} ≥ 0$，由于$c - a ＞ 0$，$ac ＜ 0$，因此$k ≤ 0$。
【答案】
$k≤0$
【知识点】
分式恒等变形，不等式性质，有理数正负性分析
【点评】
本题重点考查分式变形与不等式性质的综合应用，解题关键是通过恒等变形将$m$、$p$、$q$转化为含$k$的形式，再结合有理数正负性分析不等式的符号，需要熟练掌握分式通分和不等式的基本性质。
【难度系数】
0.4
