1. 下列命题中,属于假命题的是( )
A.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.两条平行线间的距离处处相等
D.正方形的两条对角线互相垂直平分
A.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.两条平行线间的距离处处相等
D.正方形的两条对角线互相垂直平分
答案
B
2. 如图,在$\odot O$中,$\widehat{AB}= \widehat{AC}$,若$\angle ABC= 70°$,则$\angle ACB$的度数为( )
A.$100°$
B.$90°$
C.$80°$
D.$70°$
A.$100°$
B.$90°$
C.$80°$
D.$70°$
答案
D
解析
证明：
∵在$\odot O$中，$\widehat{AB} = \widehat{AC}$，
∴$AB = AC$（等弧所对的弦相等），
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，
∴$\angle ABC = \angle ACB$（等腰三角形两底角相等），
∵$\angle ABC = 70°$，
∴$\angle ACB = 70°$。
D
∵在$\odot O$中，$\widehat{AB} = \widehat{AC}$，
∴$AB = AC$（等弧所对的弦相等），
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，
∴$\angle ABC = \angle ACB$（等腰三角形两底角相等），
∵$\angle ABC = 70°$，
∴$\angle ACB = 70°$。
D
3. 如图,点$A,B,C,D在\odot O$上,$AB是\odot O$的直径,$\angle CAB= 50°$,则$\angle D= $( )
A.$25°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$25°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
B
解析
证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠CAB=50°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-50°=40°。
∵∠D与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠ABC=40°。
B
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠CAB=50°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-50°=40°。
∵∠D与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠ABC=40°。
B
4. 如图,$A,B,C,D$四点在同一个圆上,四边形$ABCD$的对角线把4个内角分成8个角,在这8个角中,相等的角有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
C
解析
证明：
∵A,B,C,D四点共圆，
∴∠BAC=∠BDC（同弧$\overset{\frown}{BC}$所对圆周角相等），
∠ABD=∠ACD（同弧$\overset{\frown}{AD}$所对圆周角相等），
∠CBD=∠CAD（同弧$\overset{\frown}{CD}$所对圆周角相等），
∠ACB=∠ADB（同弧$\overset{\frown}{AB}$所对圆周角相等）。
共有4对相等的角。
答案：C
∵A,B,C,D四点共圆，
∴∠BAC=∠BDC（同弧$\overset{\frown}{BC}$所对圆周角相等），
∠ABD=∠ACD（同弧$\overset{\frown}{AD}$所对圆周角相等），
∠CBD=∠CAD（同弧$\overset{\frown}{CD}$所对圆周角相等），
∠ACB=∠ADB（同弧$\overset{\frown}{AB}$所对圆周角相等）。
共有4对相等的角。
答案：C
5. 如图,$AB是\odot O$的直径,$CD$为弦,$CD\perp AB且交AB于点E$,则下列结论中不成立的是( )
A.$\angle A= \angle D$
B.$\widehat{CB}= \widehat{BD}$
C.$\angle ACB= 90°$
D.$\angle COB= 3\angle D$
A.$\angle A= \angle D$
B.$\widehat{CB}= \widehat{BD}$
C.$\angle ACB= 90°$
D.$\angle COB= 3\angle D$
答案
D
解析
证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴由垂径定理得CE=DE，$\widehat{CB}=\widehat{BD}$，故B成立；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，故C成立；
∵∠A与∠D所对弧均为$\widehat{CB}$，
∴∠A=∠D，故A成立；
∵∠COB=2∠CDB=2∠D，
∴∠COB=3∠D不成立，故D不成立。
结论：D
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴由垂径定理得CE=DE，$\widehat{CB}=\widehat{BD}$，故B成立；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，故C成立；
∵∠A与∠D所对弧均为$\widehat{CB}$，
∴∠A=∠D，故A成立；
∵∠COB=2∠CDB=2∠D，
∴∠COB=3∠D不成立，故D不成立。
结论：D
6. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,$C,D是\odot O$上的点,且位于直径$AB$的两侧,连结$AC,BC,AD,CD$。若$\angle BAD= 33°$,则$\angle ACD$的度数为 ______。
答案
57°
解析
证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAD=33°，
∴∠BCD=∠BAD=33°（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-33°=57°。
57°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAD=33°，
∴∠BCD=∠BAD=33°（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-33°=57°。
57°
7. 如图,$AB为\odot O$的直径,点$C,D,E在\odot O$上,且$\widehat{AD}= \widehat{CD}$,若$\angle E= 64°$,则$\angle ABC$的度数为 ______°。
答案
52
解析
证明：连接 $AC$。
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle ACB = 90°$。
∵ $\angle E = 64°$，
∴ $\angle ACD = \angle E = 64°$（同弧所对的圆周角相等）。
∵ $\widehat{AD} = \widehat{CD}$，
∴ $AD = CD$，
∴ $\angle DAC = \angle ACD = 64°$。
在 $\triangle ADC$ 中，$\angle ADC = 180° - \angle DAC - \angle ACD = 180° - 64° - 64° = 52°$。
∵ $\angle ABC = \angle ADC$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $\angle ABC = 52°$。
$52$
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle ACB = 90°$。
∵ $\angle E = 64°$，
∴ $\angle ACD = \angle E = 64°$（同弧所对的圆周角相等）。
∵ $\widehat{AD} = \widehat{CD}$，
∴ $AD = CD$，
∴ $\angle DAC = \angle ACD = 64°$。
在 $\triangle ADC$ 中，$\angle ADC = 180° - \angle DAC - \angle ACD = 180° - 64° - 64° = 52°$。
∵ $\angle ABC = \angle ADC$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $\angle ABC = 52°$。
$52$
8. 如图,已知$\odot O$的直径为8,$A,B,C三点在\odot O$上,且$\angle ACB= 60°$,则$AB$的长为 ______。
答案
4$\sqrt{3}$ [解析]作直径AD,连结BD,如图,
∴∠ABD=90°.
由圆周角定理得,∠D=∠ACB =60°,
∴∠DAB=30°,
∴DB=$\frac{1}{2}$AD=4,
∴AB= $\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$.
