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例 1 计算：
(1)$3^{4}$；
(2)$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}$；
(3)$-\left(\dfrac{3}{10}\right)^{3}$；
(4)$4^{2}× (-1)^{2024}$。
[解答](1)$3^{4}= 3× 3× 3× 3 = 81$。
(2)$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}= \left(-\dfrac{2}{5}\right)× \left(-\dfrac{2}{5}\right)= \dfrac{4}{25}$。
(3)$-\left(\dfrac{3}{10}\right)^{3}= -\left(\dfrac{3}{10}× \dfrac{3}{10}× \dfrac{3}{10}\right)= -\dfrac{27}{1000}$。
(4)$4^{2}× (-1)^{2024}= 16× 1 = 16$。
(1)$3^{4}$；
(2)$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}$；
(3)$-\left(\dfrac{3}{10}\right)^{3}$；
(4)$4^{2}× (-1)^{2024}$。
[解答](1)$3^{4}= 3× 3× 3× 3 = 81$。
(2)$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}= \left(-\dfrac{2}{5}\right)× \left(-\dfrac{2}{5}\right)= \dfrac{4}{25}$。
(3)$-\left(\dfrac{3}{10}\right)^{3}= -\left(\dfrac{3}{10}× \dfrac{3}{10}× \dfrac{3}{10}\right)= -\dfrac{27}{1000}$。
(4)$4^{2}× (-1)^{2024}= 16× 1 = 16$。
答案
(1)$3^{4}= 3×3×3×3 = 81$。
(2)$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}= \left(-\dfrac{2}{5}\right)×\left(-\dfrac{2}{5}\right)= \dfrac{4}{25}$。
(3)$-\left(\dfrac{3}{10}\right)^{3}= -\left(\dfrac{3}{10}×\dfrac{3}{10}×\dfrac{3}{10}\right)= -\dfrac{27}{1000}$。
(4)$4^{2}× (-1)^{2024}= 16× 1 = 16$。
(2)$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}= \left(-\dfrac{2}{5}\right)×\left(-\dfrac{2}{5}\right)= \dfrac{4}{25}$。
(3)$-\left(\dfrac{3}{10}\right)^{3}= -\left(\dfrac{3}{10}×\dfrac{3}{10}×\dfrac{3}{10}\right)= -\dfrac{27}{1000}$。
(4)$4^{2}× (-1)^{2024}= 16× 1 = 16$。
例 2 把纸对折一次时,就得到 2 层；对折两次时,就得到 4 层。照这样对折下去：
(1)当对折三次时,层数是多少？
(2)如果纸的厚度是 $0.1$ mm,对折八次时,总厚度是多少？
[解答](1)$2^{3}= 8$。
所以对折三次时,层数是 8。
(2)$2^{8}× 0.1 = 256× 0.1 = 25.6$(mm)。
所以总厚度是 $25.6$ mm。
(1)当对折三次时,层数是多少？
(2)如果纸的厚度是 $0.1$ mm,对折八次时,总厚度是多少？
[解答](1)$2^{3}= 8$。
所以对折三次时,层数是 8。
(2)$2^{8}× 0.1 = 256× 0.1 = 25.6$(mm)。
所以总厚度是 $25.6$ mm。
答案
(1)由题意，每次对折层数翻倍，
对折三次时，层数为：
$2^{3} = 8$，
所以对折三次时，层数是$8$层。
(2)对折八次时，层数为$2^{8}$，
总厚度为：
$2^{8} × 0.1 = 256 × 0.1 = 25.6 (mm)$，
所以对折八次时，总厚度是$25.6 mm$。
对折三次时，层数为：
$2^{3} = 8$，
所以对折三次时，层数是$8$层。
(2)对折八次时，层数为$2^{8}$，
总厚度为：
$2^{8} × 0.1 = 256 × 0.1 = 25.6 (mm)$，
所以对折八次时，总厚度是$25.6 mm$。
1. 下列各组数中,运算结果相等的是( )。
A.$-3^{2}$ 与 $(-3)^{2}$
B.$5^{3}$ 与 $3^{5}$
C.$\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{3}$ 与 $\dfrac{-3^{3}}{4}$
D.$-7^{3}$ 与 $(-7)^{3}$
A.$-3^{2}$ 与 $(-3)^{2}$
B.$5^{3}$ 与 $3^{5}$
C.$\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{3}$ 与 $\dfrac{-3^{3}}{4}$
D.$-7^{3}$ 与 $(-7)^{3}$
答案
D
解析
A.$-3^{2}=-9$，$(-3)^{2}=9$，$-9\neq9$；
B.$5^{3}=125$，$3^{5}=243$，$125\neq243$；
C.$\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{3}=-\dfrac{27}{64}$，$\dfrac{-3^{3}}{4}=\dfrac{-27}{4}=-\dfrac{27}{4}$，$-\dfrac{27}{64}\neq-\dfrac{27}{4}$；
D.$-7^{3}=-343$，$(-7)^{3}=-343$，$-343=-343$。
D
B.$5^{3}=125$，$3^{5}=243$，$125\neq243$；
C.$\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{3}=-\dfrac{27}{64}$，$\dfrac{-3^{3}}{4}=\dfrac{-27}{4}=-\dfrac{27}{4}$，$-\dfrac{27}{64}\neq-\dfrac{27}{4}$；
D.$-7^{3}=-343$，$(-7)^{3}=-343$，$-343=-343$。
D
2. 若 $(-ab)^{2025} ＞ 0$,则下列判断正确的是( )。
A.$\dfrac{b}{a} ＜ 0$
B.$\dfrac{b}{a} ＞ 0$
C.$a ＞ 0$,$b ＜ 0$
D.$a ＜ 0$,$b ＞ 0$
A.$\dfrac{b}{a} ＜ 0$
B.$\dfrac{b}{a} ＞ 0$
C.$a ＞ 0$,$b ＜ 0$
D.$a ＜ 0$,$b ＞ 0$
答案
A
解析
$(-ab)^{2025}=-a^{2025}b^{2025}＞0$，则$a^{2025}b^{2025}＜0$，即$(ab)^{2025}＜0$，所以$ab＜0$，则$\dfrac{b}{a}＜0$。
A
A
3. 如图,一张长 $20$ cm、宽 $10$ cm 的长方形纸片,第一次截去一半,第 2 次截去剩下部分的一半,…,如此截下去,第 6 次后剩下部分的面积是( )$cm^{2}$。
A.$200× \dfrac{1}{2^{6}}$
B.$200× \left(1 - \dfrac{1}{2^{6}}\right)$
C.$200× \dfrac{1}{2^{7}}$
D.$200× \left(1 - \dfrac{1}{2^{7}}\right)$
A.$200× \dfrac{1}{2^{6}}$
B.$200× \left(1 - \dfrac{1}{2^{6}}\right)$
C.$200× \dfrac{1}{2^{7}}$
D.$200× \left(1 - \dfrac{1}{2^{7}}\right)$
答案
A
解析
长方形纸片的面积为 $20 × 10 = 200 \, cm^2$。
第一次截去一半后剩下的面积为 $200 × \dfrac{1}{2}$；
第二次截去剩下部分的一半后剩下的面积为 $200 × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} = 200 × \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$；
依此类推，第 $n$ 次后剩下部分的面积为 $200 × \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$。
当 $n=6$ 时，剩下部分的面积为 $200 × \dfrac{1}{2^6}$。
A
第一次截去一半后剩下的面积为 $200 × \dfrac{1}{2}$；
第二次截去剩下部分的一半后剩下的面积为 $200 × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2} = 200 × \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$；
依此类推，第 $n$ 次后剩下部分的面积为 $200 × \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$。
当 $n=6$ 时，剩下部分的面积为 $200 × \dfrac{1}{2^6}$。
A
