21. 提升题【模型呈现】
(1) 如图①,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,直线$l$经过点$A$,$BD⊥$直线$l$,$CE⊥$直线$l$,垂足分别为$D$,$E$。请说明:$△ ABD≌△ CAE$。
【模型应用】
(2) 如图②,将(1)中的条件改为:在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$A$,$E$三点都在直线$l$上,且$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC$。请说明:$DE=BD+CE$。
【拓展延伸】
(3) 如图③,过$△ ABC$的边$AB$,$AC$分别向外作正方形$ABDE$和正方形$ACFG$,连接$EG$,$AH$是$BC$边上的高,延长$HA$交$EG$于点$I$。请说明:$I$为$EG$的中点。

21. 答案：
(1) 解：因为$BD⊥$直线$l$，$CE⊥$直线$l$，所以$∠ BDA = ∠ CEA = 90°$。
因为$∠ BAC = 90°$，所以$∠ BAD + ∠ CAE = 90°$。
因为$∠ BAD + ∠ ABD = 90°$，所以$∠ CAE = ∠ ABD$。
在$△ ABD$和$△ CAE$中，$∠ ABD = ∠ CAE$，$∠ BDA = ∠ AEC = 90°$，$AB = CA$，所以$△ ABD ≌ △ CAE(AAS)$。
(2) 解：设$∠ BDA = ∠ AEC = ∠ BAC = α$，所以$∠ DBA + ∠ BAD = ∠ BAD + ∠ CAE = 180° - α$，所以$∠ DBA = ∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ CAE$中，$∠ ABD = ∠ CAE$，$∠ BDA = ∠ AEC$，$AB = CA$，所以$△ ABD ≌ △ CAE(AAS)$，所以$BD = AE$，$AD = CE$，所以$DE = AE + AD = BD + CE$。
(3) 解：如图③，过点$E$作$EM⊥ HI$于点$M$，过点$G$作$GN⊥ HI$，交$HI$的延长线于点$N$，则$∠ EMI = ∠ EMA = ∠ GNA = 90°$。
因为$∠ BAE = 90°$，所以$∠ EAM + ∠ BAH = 90°$。
因为$AH$是$BC$边上的高，所以$∠ AHB = 90°$，所以$∠ BAH + ∠ ABH = 90°$，所以$∠ ABH = ∠ EAM$。
在$△ ABH$和$△ EAM$中，$∠ AHB = ∠ EMA = 90°$，$∠ ABH = ∠ EAM$，$AB = EA$，所以$△ ABH ≌ △ EAM$，所以$AH = EM$。
同理，$△ ACH ≌ △ GAN$，所以$AH = GN$，所以$EM = GN$。
在$△ EMI$和$△ GNI$中，$∠ EIM = ∠ GIN$，$∠ EMI = ∠ GNI$，$EM = GN$，所以$△ EMI ≌ △ GNI(AAS)$，所以$EI = GI$，所以$I$是$EG$的中点。