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章末总结复习
思维导图·发展创新意识
思维导图·发展创新意识
答案
1. 不等式：用不等号表示不等关系的式子。
2. 不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3. 一元一次不等式：
定义：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是$1$的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为$1$。
4. 一元一次不等式组：
一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分。
解一元一次不等式组的步骤：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分。
故答案依次为：不等关系；不变；正数；不变；负数；改变；一个；$1$；去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为$1$；公共部分；公共部分。
2. 不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3. 一元一次不等式：
定义：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是$1$的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为$1$。
4. 一元一次不等式组：
一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分。
解一元一次不等式组的步骤：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分。
故答案依次为：不等关系；不变；正数；不变；负数；改变；一个；$1$；去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为$1$；公共部分；公共部分。
一、选择题
1. 下列式子：①$-2＜0$，②$2x+3y＞0$，③$x=2$，④$x^{2}+2xy+y^{2}$，⑤$x≠3$，⑥$x+1＞2$.其中不等式有().
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
1. 下列式子：①$-2＜0$，②$2x+3y＞0$，③$x=2$，④$x^{2}+2xy+y^{2}$，⑤$x≠3$，⑥$x+1＞2$.其中不等式有().
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
D
解析
根据不等式的定义进行判断，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式。
①$-2 ＜ 0$，用不等号连接，是不等式；
②$2x + 3y＞ 0$，用不等号连接，是不等式；
③$x = 2$，是等式，不是不等式；
④$x^{2}+2xy + y^{2}$，是代数式，不是不等式；
⑤$x≠ 3$，用不等号连接，是不等式；
⑥$x + 1＞ 2$，用不等号连接，是不等式。
所以①②⑤⑥是不等式，共$4$个。
①$-2 ＜ 0$，用不等号连接，是不等式；
②$2x + 3y＞ 0$，用不等号连接，是不等式；
③$x = 2$，是等式，不是不等式；
④$x^{2}+2xy + y^{2}$，是代数式，不是不等式；
⑤$x≠ 3$，用不等号连接，是不等式；
⑥$x + 1＞ 2$，用不等号连接，是不等式。
所以①②⑤⑥是不等式，共$4$个。
2. (2024 苏州)若$a＞b-1$，则下列结论中一定正确的是().
A.$a+1＜b$
B.$a-1＜b$
C.$a＞b$
D.$a+1＞b$
A.$a+1＜b$
B.$a-1＜b$
C.$a＞b$
D.$a+1＞b$
答案
D
解析
由$a＞b-1$，两边同时加1得$a+1＞b$，对选项逐一分析：
选项A：$a + 1＜b$与$a + 1＞b$矛盾，所以A错误。
选项B：仅由$a＞b - 1$不能得出$a - 1＜b$，例如当$a = b$时满足$a＞b - 1$，但$a-1=b - 1＜b$不全面体现一般情况，所以B错误。
选项C：仅由$a＞b - 1$不能得出$a＞b$，例如当$a=b - 0.5$时满足$a＞b - 1$，但$a＜b$，所以C错误。
选项D：前面已推出$a + 1＞b$，所以D正确。
选项A：$a + 1＜b$与$a + 1＞b$矛盾，所以A错误。
选项B：仅由$a＞b - 1$不能得出$a - 1＜b$，例如当$a = b$时满足$a＞b - 1$，但$a-1=b - 1＜b$不全面体现一般情况，所以B错误。
选项C：仅由$a＞b - 1$不能得出$a＞b$，例如当$a=b - 0.5$时满足$a＞b - 1$，但$a＜b$，所以C错误。
选项D：前面已推出$a + 1＞b$，所以D正确。
3. 已知$(k+3)x^{|k|-2}+5＜k-4$是关于$x$的一元一次不等式，则$k$的值是().
A.3
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.无法确定
A.3
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.无法确定
答案
A
解析
根据题意，不等式$(k+3)x^{|k|-2}+5＜k-4$是关于$x$的一元一次不等式，所以$x$的指数必须为$1$，且$x$的系数不为$0$。
首先，设置$x$的指数为$1$，即$|k|-2=1$，解得$|k|=3$，意味着$k=3$或$k=-3$。
其次，$x$的系数$k+3$不能为$0$，即$k\ne -3$。
综合以上，$k$只能取$3$。
首先，设置$x$的指数为$1$，即$|k|-2=1$，解得$|k|=3$，意味着$k=3$或$k=-3$。
其次，$x$的系数$k+3$不能为$0$，即$k\ne -3$。
综合以上，$k$只能取$3$。
4. (2024 宁夏)已知$|3-a|=a-3$，则$a$的取值范围在数轴上表示正确的是().
答案
B
解析
由绝对值的定义，对于 $|3 - a| = a - 3$ 成立的条件是 $3 - a ≤ 0$，即 $a ≥ 3$。
在数轴上表示时，应为一个从 $3$ 开始向右的射线，包含 $3$ 点（实心点）。
在数轴上表示时，应为一个从 $3$ 开始向右的射线，包含 $3$ 点（实心点）。
5. 已知点$A(2-a,a+1)$在第一象限，则$a$的取值范围是().
A.$a＞2$
B.$-1＜a＜2$
C.$-2＜a＜-1$
D.$a＜1$
A.$a＞2$
B.$-1＜a＜2$
C.$-2＜a＜-1$
D.$a＜1$
答案
B
解析
已知点 $A(2 - a, a + 1)$ 在第一象限，根据第一象限的坐标特点，可得：
$\begin{cases}2 - a ＞ 0, \\a + 1 ＞ 0.\end{cases}$
解不等式 $2 - a＞ 0$，可得 $a ＜ 2$；
解不等式 $a + 1＞ 0$，可得 $a ＞ - 1$。
所以 $a$ 的取值范围是 $-1 ＜ a ＜ 2$。
$\begin{cases}2 - a ＞ 0, \\a + 1 ＞ 0.\end{cases}$
解不等式 $2 - a＞ 0$，可得 $a ＜ 2$；
解不等式 $a + 1＞ 0$，可得 $a ＞ - 1$。
所以 $a$ 的取值范围是 $-1 ＜ a ＜ 2$。
6. 用若干辆载货质量为$8\mathrm{t}$的汽车运一批货物，若每辆货车只装$4\mathrm{t}$，则剩下$20\mathrm{t}$货物；若每辆货车装$8\mathrm{t}$，则最后一辆车装的货物不满也不空.若设有$x$辆货车，则$x$应满足的不等式组是().
A.$\begin{cases}4x+20-8x＞0,\\4x+20-8(x-1)＞0\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x+20-8x＞0,\\4x+20-8(x-1)＜0\end{cases}$
C.$\begin{cases}4x+20-8x＜0,\\4x+20-8(x-1)＜0\end{cases}$
D.$\begin{cases}4x+20-8x＜0,\\4x+20-8(x-1)＞0\end{cases}$
A.$\begin{cases}4x+20-8x＞0,\\4x+20-8(x-1)＞0\end{cases}$
B.$\begin{cases}4x+20-8x＞0,\\4x+20-8(x-1)＜0\end{cases}$
C.$\begin{cases}4x+20-8x＜0,\\4x+20-8(x-1)＜0\end{cases}$
D.$\begin{cases}4x+20-8x＜0,\\4x+20-8(x-1)＞0\end{cases}$
答案
D
解析
设货车数量为x辆。
当每辆装4吨时，货物总量为4x + 20吨；
当每辆装8吨时，前x-1辆装满时运货8(x-1)吨，最后一辆运货量为总量减去前x-1辆的运量，即：
4x + 20 - 8(x-1) 根据题意，最后一辆车不满也不空，即： 0 ＜ 4x + 20 - 8(x-1) ＜ 8
分解为两个不等式：
1. 4x + 20 - 8(x-1) ＞ 0
2. 4x + 20 - 8(x-1) ＜ 8
化简第一个不等式：
$4x + 20 - 8x + 8 ＞ 0 \implies -4x + 28 ＞ 0 \implies x $＜ 7 化简第二个不等式： 4x + 20 - 8x + 8 ＜ 8 \implies -4x + 28 ＜ 8 \implies x ＞ 5
题目要求不等式组形式，对比选项，D选项的两个不等式与推导过程一致：
$ \begin{cases} 4x + 20 - 8x $＜ 0 \implies x ＞$ 5, \\ 4x + 20 - 8(x-1) ＞ 0 \implies x $＜ 7. \end{cases} （原不等式4x + 20 - 8x ＜ 0等价于x ＞ 5，与推导一致。）
当每辆装4吨时，货物总量为4x + 20吨；
当每辆装8吨时，前x-1辆装满时运货8(x-1)吨，最后一辆运货量为总量减去前x-1辆的运量，即：
4x + 20 - 8(x-1) 根据题意，最后一辆车不满也不空，即： 0 ＜ 4x + 20 - 8(x-1) ＜ 8
分解为两个不等式：
1. 4x + 20 - 8(x-1) ＞ 0
2. 4x + 20 - 8(x-1) ＜ 8
化简第一个不等式：
$4x + 20 - 8x + 8 ＞ 0 \implies -4x + 28 ＞ 0 \implies x $＜ 7 化简第二个不等式： 4x + 20 - 8x + 8 ＜ 8 \implies -4x + 28 ＜ 8 \implies x ＞ 5
题目要求不等式组形式，对比选项，D选项的两个不等式与推导过程一致：
$ \begin{cases} 4x + 20 - 8x $＜ 0 \implies x ＞$ 5, \\ 4x + 20 - 8(x-1) ＞ 0 \implies x $＜ 7. \end{cases} （原不等式4x + 20 - 8x ＜ 0等价于x ＞ 5，与推导一致。）
