14. 已知二次函数$ y = ( k - 1 ) x ^ { 2 } + ( 2 + 4 k ) x + 1 - 4 k $的图像过点$ A ( 4,0 ) $.
（1）求k的值；
（2）设该二次函数的图像的顶点为B，在y轴上确定一点P，使线段AP、BP之和最小，试求点P的坐标.

解​​​： (1)​​​把​​​A(4 ， 0)​​​代入二次函数,得​​​16(k-1)+4(2+4k)+1-4k=0​​​
得$​​​k=\frac {1}{4}​​​$
$​​​(2)y=-\frac {3}{4}x²+3x= -\frac {3}{4}(x-2)²+3 .​​​$
所以​​​B(2 ， 3)​​​
​​​A​​​点关于​​​y​​​轴的对称点坐标是​​​(-4 ， 0)​​​
设过​​​(-4， 0) ， (2 ， 3)​​​两点的直线为​​​y=mx+n，​​​
$​​​\begin{cases}{-4m+n=0 }\\{2m+n=3} \end{cases}​​​$
解得$​​​m=\frac {1}{2}，$n=2​​​
所以该直线为$​​​y=\frac {1}{2}x+2​​​$
所以​​​P​​​点的坐标是​​​(0 ， 2)​​
​

15. 如图，在矩形OABC中，$ O A = 8 $，$ O C = 4 $，OA、OC分别在x轴、y轴上，D为OA上一点，且$ C D = A D $.
（1）若经过B、C、D三点的抛物线与x轴的另一个交点为E，请求出点E的坐标.
（2）在（1）中的抛物线上位于x轴上方的部分，是否存在一点P，使$ \triangle P B C $的面积等于矩形OABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解​​​：(1)​​​设​​​OD=x，​​​则​​​AD=CD=8-x​​​
在$​​​Rt\triangle OCD​​​$中，由勾股定理得
$​​​C{D}^2=O{D}^2+O{C}^2，$​​​即$​​​{(8-x)}^2={x}^2+{4}^2​​​$
解得​​​x=3​​​
​​​∴OD=3​​​
​​​∴D(3，0)​​​
​​​∵OA=8，​​​​​​OC=4​​​
​​​∴B(8，-4)，​​​​​​C(0，-4)​​​且抛物线过​​​B，​​​​​​C​​​点
∴抛物线的对称轴为​​​x=4​​​
​​​∵D(3，0)​​​
∴另一个交点​​​E(5，0).​​​
​​​(2)​​​不存在这样的点​​​P，​​​理由如下：
$​​​{S}_{矩形OABC}=OA·OB=32​​​$
若存在这样的点​​​P，​​​设点​​​P​​​到​​​BC​​​的距离为​​​h​​​
则$​​​{S}_{△PBC}=\frac {1}{2}BC·h=32​​​$
​​​∴h=8​​​
设抛物线的解析式为$​​​y=a{x}^2+bx+c​​​$
∵抛物线过​​​B(8，-4)，​​​​​​C(0，-4)，​​​​​​D(3，0)​​​

∴抛物线解析式为$​​​y=-\frac {4}{15}{x}^2+\frac {32}{15}x-4=-\frac {4}{15}{(x-4)}^2+\frac {4}{15}​​​$
​​​∴p​​​抛物线的顶点为​​​(4，$\frac {4}{15})​​​$
∴顶点到​​​BC​​​的距离为$​​​4+\frac {4}{15}=\frac {64}{15}\lt 8​​​$
∴不存在这样的点​​​P，​​​使$​​​\triangle PBC​​​$的面积等于矩形​​​OABC​​​的面积.