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11. 如图，点$D$、$E$分别在$\triangle A B C$的边$A B$、$A C$上，$B E$、$C D$相交于点$O$，$\angle 1 = \angle 2$，连接$D E$. 图中共有多少对相似三角形？请把它们写出来.
(https://p3-hippo-sign.byteimg.com/tos-cn-i-a9yeduch1e/5c8c8c8c8c8c4c8c9c8c8c8c8c8c8c8c~tplv-ii0cwwkcx9-resize-crop-v1:600:1110:737:1190:0:0.png?lk3s=f89d68d8&x-expires=2045275247&x-signature=7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d7d)
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答案
解:图中共有4对相似三角形,
分别是△OBD∽△OCE，△ODE∽△OBC，
△ABE∽△ACD，△ADE∽△ACB。
分别是△OBD∽△OCE，△ODE∽△OBC，
△ABE∽△ACD，△ADE∽△ACB。
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数$y = a x ^ { 2 } + b x + c$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，$D$是$O C$的中点，直线$A D$交二次函数$y = a x ^ { 2 } + b x + c$的图像于点$E ( 2,6 )$，且$\triangle A B E$与$\triangle A B C$的面积之比为$3 : 2$.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）连接$B D$，试判断$B D$与$A D$的位置关系，并说明理由.
（3）连接$B C$交直线$A D$于点$M$，在直线$A D$上，是否存在这样的点$N$（不与点$M$重合），使得以$A$、$B$、$N$为顶点的三角形与$\triangle A B M$相似？若存在，请求点$N$的坐标；若不存在，请说明理由.
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（1）求该二次函数的表达式.
（2）连接$B D$，试判断$B D$与$A D$的位置关系，并说明理由.
（3）连接$B C$交直线$A D$于点$M$，在直线$A D$上，是否存在这样的点$N$（不与点$M$重合），使得以$A$、$B$、$N$为顶点的三角形与$\triangle A B M$相似？若存在，请求点$N$的坐标；若不存在，请说明理由.
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答案
解： (1)因为$S_{△ABE}$：$ S_{△ABC}=3$：2
所以${y}_{E}$：${y}_{C}=3$：2
因为点E坐标为(2，6)，
所以点C坐标为(0，4)
因为D是OC中点
所以点D坐标为(0 ， 2)。
设直线DE的表达式为y= kx +b，
将D(0 ， 2) ， E(2 ， 6)代入，得
$\begin{cases}{2k+b=6 }\\{b=2} \end{cases}$
解得k=2，b=2
所以直线DE的表达式为y=2x+2 ，
所以点A的坐标为(-1， 0)
将A(-1，0)，C(0，4)，E(2，6)代入,得
$\begin{cases}{a-b+c=0 }\\{c=4}\\{4a+2b+c=6} \end{cases}$
解得a=-1，b=3，c=4
所以该二次函数的表达式为y=-x²+3x+4
$(2)\ \mathrm {BD}⊥AD ，$理由如下:
因为点B为二次函数y=-x²+3x+4与x轴的交点
所以0= -x²+3x+4
解得，$x_{1}=-1，$$x_{2}=4$
所以点B坐标为(4 ， 0)
因为A(-1， 0)， B(4， 0)， D(0 ， 2)
所以AB= 5，$ AD=\sqrt{5}，$$ BD= 2\sqrt{5}$
因为AB²=AD²+BD²
所以BD⊥AD
(3)存在,
因为B(4，0)，C(0，4)
所以直线BC的表达式为y=-x+4
因为直线AD的表达式为y=2x+2
所以-x+4=2x+2 ，
解得$x=\frac {2}{3}，$
点M坐标为$(\frac {2}{3}，$$\frac {10}{3})$
因为△ANB∽△ABM
所以$\frac {AN}{AB}=\frac {AB}{AM}$
所以$\frac {AN}{5}=\frac {5}{\frac {5}{3}\sqrt{5}}$
所以$AN= 3\sqrt{5}$
设N(t ， 2t+2)
$AN=\sqrt{(t+1)²+ (2t+2)²}= 3\sqrt{5}$
解得，$t_{1} =2，$$t_{2}= -4$
因为$2t+2\gt 0$
所以t=2
所以点N的坐标为(2 ， 6)
所以${y}_{E}$：${y}_{C}=3$：2
因为点E坐标为(2，6)，
所以点C坐标为(0，4)
因为D是OC中点
所以点D坐标为(0 ， 2)。
设直线DE的表达式为y= kx +b，
将D(0 ， 2) ， E(2 ， 6)代入，得
$\begin{cases}{2k+b=6 }\\{b=2} \end{cases}$
解得k=2，b=2
所以直线DE的表达式为y=2x+2 ，
所以点A的坐标为(-1， 0)
将A(-1，0)，C(0，4)，E(2，6)代入,得
$\begin{cases}{a-b+c=0 }\\{c=4}\\{4a+2b+c=6} \end{cases}$
解得a=-1，b=3，c=4
所以该二次函数的表达式为y=-x²+3x+4
$(2)\ \mathrm {BD}⊥AD ，$理由如下:
因为点B为二次函数y=-x²+3x+4与x轴的交点
所以0= -x²+3x+4
解得，$x_{1}=-1，$$x_{2}=4$
所以点B坐标为(4 ， 0)
因为A(-1， 0)， B(4， 0)， D(0 ， 2)
所以AB= 5，$ AD=\sqrt{5}，$$ BD= 2\sqrt{5}$
因为AB²=AD²+BD²
所以BD⊥AD
(3)存在,
因为B(4，0)，C(0，4)
所以直线BC的表达式为y=-x+4
因为直线AD的表达式为y=2x+2
所以-x+4=2x+2 ，
解得$x=\frac {2}{3}，$
点M坐标为$(\frac {2}{3}，$$\frac {10}{3})$
因为△ANB∽△ABM
所以$\frac {AN}{AB}=\frac {AB}{AM}$
所以$\frac {AN}{5}=\frac {5}{\frac {5}{3}\sqrt{5}}$
所以$AN= 3\sqrt{5}$
设N(t ， 2t+2)
$AN=\sqrt{(t+1)²+ (2t+2)²}= 3\sqrt{5}$
解得，$t_{1} =2，$$t_{2}= -4$
因为$2t+2\gt 0$
所以t=2
所以点N的坐标为(2 ， 6)
