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12. 已知$\dfrac{1}{2 - \sqrt{3}}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a^{2}+(\sqrt{3}+1)ab$的值.
答案
12. 解：$\frac { 1 } { 2 - \sqrt { 3 } } = \frac { 2 + \sqrt { 3 } } { ( 2 - \sqrt { 3 } ) ( 2 + \sqrt { 3 } ) } = \frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 1 } = 2 + \sqrt { 3 }$.
$\because 1 ＜ \sqrt { 3 } ＜ 2$，$\therefore 3 ＜ 2 + \sqrt { 3 } ＜ 4$. $\therefore a = 3$，$b = \sqrt { 3 } - 1$.
$\therefore a ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } + 1 ) a b = 3 ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } + 1 ) × 3 × ( \sqrt { 3 } - 1 ) = 9 + 6 = 15$.
$\because 1 ＜ \sqrt { 3 } ＜ 2$，$\therefore 3 ＜ 2 + \sqrt { 3 } ＜ 4$. $\therefore a = 3$，$b = \sqrt { 3 } - 1$.
$\therefore a ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } + 1 ) a b = 3 ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } + 1 ) × 3 × ( \sqrt { 3 } - 1 ) = 9 + 6 = 15$.
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{0.1a}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2a}}$
C.$\sqrt{a^{3}}$
D.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
D
).A.$\sqrt{0.1a}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2a}}$
C.$\sqrt{a^{3}}$
D.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
答案
1. D
2. 已知$a=\sqrt{2}-1$，$b=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$，则$a$与$b$的关系是(
A.$a = b$
B.$ab = 1$
C.$a = -b$
D.$ab = -1$
A
).A.$a = b$
B.$ab = 1$
C.$a = -b$
D.$ab = -1$
答案
2. A
3. 将二次根式$\sqrt{\dfrac{b^{5}}{27a^{3}c}}$($a＞0$，$b＞0$，$c＞0$)化成最简二次根式为
$\frac { b ^ { 2 } \sqrt { 3 a b c } } { 9 a ^ { 2 } c }$
.答案
3. $\frac { b ^ { 2 } \sqrt { 3 a b c } } { 9 a ^ { 2 } c }$
4. 若$ab = 3$，则式子$10a^{2}\sqrt{ab}·5\sqrt{\dfrac{b}{a}}÷15\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值为
$10 \sqrt { 3 }$
.答案
4. $10 \sqrt { 3 }$
5. 观察下列等式：
$S_{1}=\sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}}$；$S_{2}=\sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}}$；
$S_{3}=\sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}}$；
……
(1)根据以上规律可得$S_{4}$的值为
(2)用以上规律直接写出$S_{n}$的结果，并通过计算说明其正确性.
$S_{1}=\sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}}$；$S_{2}=\sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}}$；
$S_{3}=\sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}}+\sqrt{1 + \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}}$；
……
(1)根据以上规律可得$S_{4}$的值为
$4 \frac { 4 } { 5 }$
；(2)用以上规律直接写出$S_{n}$的结果，并通过计算说明其正确性.
答案
5. 解：(1)$4 \frac { 4 } { 5 }$
(2)$S _ { n } = n + \frac { n } { n + 1 }$，说明如下：
$\because S _ { 1 } = \sqrt { 1 + 1 + \frac { 1 } { 4 } } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } = 1 \frac { 1 } { 2 }$，
$S _ { 2 } = \sqrt { 1 + 1 + \frac { 1 } { 4 } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 9 } } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } + 1 + \frac { 1 } { 2 × 3 } = 2 \frac { 2 } { 3 }$，
$S _ { 3 } = \sqrt { 1 + 1 + \frac { 1 } { 4 } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 9 } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 9 } + \frac { 1 } { 16 } } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } + 1 + \frac { 1 } { 2 × 3 } + 1 + \frac { 1 } { 3 × 4 } = 3 \frac { 3 } { 4 }$，
$\therefore S _ { n } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } + 1 + \frac { 1 } { 2 × 3 } + 1 + \frac { 1 } { 3 × 4 } + ··· + 1 + \frac { 1 } { n × ( n + 1 ) } = n + \frac { n } { n + 1 }$.
(2)$S _ { n } = n + \frac { n } { n + 1 }$，说明如下：
$\because S _ { 1 } = \sqrt { 1 + 1 + \frac { 1 } { 4 } } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } = 1 \frac { 1 } { 2 }$，
$S _ { 2 } = \sqrt { 1 + 1 + \frac { 1 } { 4 } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 9 } } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } + 1 + \frac { 1 } { 2 × 3 } = 2 \frac { 2 } { 3 }$，
$S _ { 3 } = \sqrt { 1 + 1 + \frac { 1 } { 4 } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 9 } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 9 } + \frac { 1 } { 16 } } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } + 1 + \frac { 1 } { 2 × 3 } + 1 + \frac { 1 } { 3 × 4 } = 3 \frac { 3 } { 4 }$，
$\therefore S _ { n } = 1 + \frac { 1 } { 1 × 2 } + 1 + \frac { 1 } { 2 × 3 } + 1 + \frac { 1 } { 3 × 4 } + ··· + 1 + \frac { 1 } { n × ( n + 1 ) } = n + \frac { n } { n + 1 }$.
