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11. 将一副三角板按如图所示的方式放置，其中 $ AB // DE $，则 $ ∠CDF = $
105
$ ° $.答案
11. 105
12. 如图，已知 $ ∠1 = ∠C $，$ EF ⊥ BC $，$ ∠2 + ∠3 = 180° $.
(1) 试说明：$ ∠2 = ∠4 $.
(2) 试求出 $ ∠ADC $ 的度数.
(1) 试说明：$ ∠2 = ∠4 $.
(2) 试求出 $ ∠ADC $ 的度数.
答案
12. 解: (1) $ \because ∠ 1=∠ C, \therefore D P // A C . \therefore ∠ 2=∠ 4 $. (2) $ \because E F ⊥ B C, \therefore ∠ E F C=90° . \because ∠ 2=∠ 4, ∠ 2+∠ 3=180°, \therefore ∠ 3+∠ 4=180° . \therefore A D // E F . \therefore ∠ A D C=∠ E F C=90° $.
13. 如图，线段 $ AB // CD $，交 $ BF $ 于点 $ E $.
(1) 尺规作图：以 $ D $ 为顶点，射线 $ DC $ 为一边，在 $ DC $ 的右侧作 $ ∠CDM $，使 $ ∠CDM = ∠B $（要求：不写作法，保留作图痕迹）.
(2) 判断 $ DM $ 与 $ BF $ 的位置关系，并说明理由.
(1) 尺规作图：以 $ D $ 为顶点，射线 $ DC $ 为一边，在 $ DC $ 的右侧作 $ ∠CDM $，使 $ ∠CDM = ∠B $（要求：不写作法，保留作图痕迹）.
(2) 判断 $ DM $ 与 $ BF $ 的位置关系，并说明理由.
答案
13. 解: (1) 图略. (2) . 理由如下: .
14. 新考向 跨学科 埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长.如图，塞尼城中 $ A $ 处是一口深井，夏至日中午 12 时，太阳光可直射井底，$ B $ 处为亚历山大城，与塞尼城几乎在一条经线上，两地距离 $ d $ 约为 800 km，地球周长可近似为 $ \frac{360°}{θ} × d $，太阳光线看作平行光线.他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角 $ ∠α = 7.2° $，依据
两直线平行, 同位角相等
，可得到 $ ∠θ = $$ 7.2° $
，计算得地球周长约为40 000
km.答案
14. 两直线平行, 同位角相等 $ 7.2° $ 40 000
15. 新考向 综合与实践【课题学习】平行线的“等角转化”.
如图 1，已知 $ A $ 是 $ BC $ 外一点，连接 $ AB $，$ AC $，求 $ ∠BAC + ∠B + ∠C $ 的度数.
解：过点 $ A $ 作 $ ED // BC $.
$ ∴ ∠B = $
又 $ ∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠DAC = 180° $，
$ ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = $
【问题解决】(1) 阅读并补全上述推理过程.
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 $ ∠BAC $，$ ∠B $，$ ∠C $“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
【方法运用】(2) 如图 2，已知 $ AB // CD $，$ BE $，$ CE $ 相交于点 $ E $，$ ∠BEC = 80° $，求 $ ∠B - ∠C $ 的度数.
(3) 如图 3，若 $ AB // CD $，点 $ P $ 在 $ AB $，$ CD $ 外部，请直接写出 $ ∠B $，$ ∠D $，$ ∠BPD $ 之间的关系.
如图 1，已知 $ A $ 是 $ BC $ 外一点，连接 $ AB $，$ AC $，求 $ ∠BAC + ∠B + ∠C $ 的度数.
解：过点 $ A $ 作 $ ED // BC $.
$ ∴ ∠B = $
$ ∠ E A B $
，$ ∠C = $$ ∠ D A C $
.又 $ ∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠DAC = 180° $，
$ ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = $
$ 180° $
.【问题解决】(1) 阅读并补全上述推理过程.
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 $ ∠BAC $，$ ∠B $，$ ∠C $“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
【方法运用】(2) 如图 2，已知 $ AB // CD $，$ BE $，$ CE $ 相交于点 $ E $，$ ∠BEC = 80° $，求 $ ∠B - ∠C $ 的度数.
(3) 如图 3，若 $ AB // CD $，点 $ P $ 在 $ AB $，$ CD $ 外部，请直接写出 $ ∠B $，$ ∠D $，$ ∠BPD $ 之间的关系.
答案
15. 解: (1) $ ∠ E A B $ $ ∠ D A C $ $ 180° $ (2) 过点 $ E $ 向左侧作 $ E F // A B . \therefore ∠ B+∠ B E F=180° . \therefore ∠ B E F=180°-∠ B . \because A B // C D, \therefore E F // C D . \therefore ∠ F E C=∠ C . \because ∠ B E C=80°, \therefore ∠ B E F+∠ F E C=80° . \therefore 180°-∠ B+∠ C=80° . \therefore ∠ B-∠ C=100° $. (3) $ ∠ B P D=∠ B-∠ D $.
