1. 在$△ ABC$中,$∠ C= 90^{\circ}$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C的对边分别为a$,$b$,$c$。
(1)若$a= 7$,$b= 24$,则$c= $______；
(2)若$a= 8$,$c= 17$,则$b= $______；
(3)若$a:b= 3:4$,$c= 15$,则$a= $______；
(4)若$∠ A= 45^{\circ}$,$b= 5$,则$c^2= $______。

25；15；9；50

(1)在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，由勾股定理得$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{7^2 + 24^2}=\sqrt{49 + 576}=\sqrt{625}=25$；
(2)由勾股定理得$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15$；
(3)设$a=3k$，$b=4k(k＞0)$，由勾股定理得$(3k)^2 + (4k)^2 = 15^2$，$9k^2 + 16k^2 = 225$，$25k^2 = 225$，$k^2 = 9$，$k=3$，则$a=3×3=9$；
(4)$∠A=45^{\circ}$，则$∠B=45^{\circ}$，$△ABC$为等腰直角三角形，$a=b=5$，$c^2=a^2 + b^2=5^2 + 5^2=25 + 25=50$。

2. 若一个三角形的边长分别是$m$,$m+2$,$m+4$,且它是直角三角形,则$m$的值为( )

A.3
B.2
C.5
D.6

D

因为三角形边长为$m$，$m+2$，$m+4$，且$m+4$为最长边（斜边），由勾股定理得$m^2+(m+2)^2=(m+4)^2$。展开得$m^2+m^2+4m+4=m^2+8m+16$，化简为$m^2 - 4m - 12=0$，因式分解$(m-6)(m+2)=0$，解得$m=6$（$m=-2$舍去）。验证：$6^2+8^2=10^2$，成立。

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB= AC$,$BC= 10$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$,且$BD= 8$,则$AC$的长为________。

25/3

设AC=AB=x，在Rt△BDC中，BC=10，BD=8，由勾股定理得DC²=BC²-BD²=10²-8²=36，故DC=6。则AD=AC-DC=x-6。在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，即(x-6)²+8²=x²，展开得x²-12x+36+64=x²，化简得-12x+100=0，解得x=25/3。

4. 已知直角三角形三边长分别是$a+1$,$a+2$,$a+3$,则$a$的值为________。

2

因为直角三角形三边长分别是$a + 1$，$a + 2$，$a + 3$，且$a + 3$最大，所以$a + 3$为斜边。根据勾股定理可得$(a + 1)^2 + (a + 2)^2 = (a + 3)^2$，展开得$a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 = a^2 + 6a + 9$，化简得$a^2 - 4 = 0$，解得$a = 2$或$a = -2$。因为边长不能为负，所以$a = 2$。

5. 如图,在高为$5\ m$,坡面长为$13\ m$的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要( )

A.$17\ m$
B.$18\ m$
C.$25\ m$
D.$26\ m$

A

由题意可知，楼梯的高度为$5\ m$，坡面长为$13\ m$，根据勾股定理，水平长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \mathrm{(m)}$。
地毯需要铺满整个楼梯表面，包括高度和水平长度，因此地毯的总长度为：
$5\ m + 12\ m = 17\ m$。

6. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示。将一根长为$20\ cm$的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有________$cm$。

5

由展开图可知，圆柱的高为12cm，底面直径为9cm。木筷在杯内最长长度为以高和底面直径为直角边的直角三角形斜边，根据勾股定理得：$\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$cm。则露在外面部分至少为$20 - 15 = 5$cm。