例 如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D，CD = 2√3，AB = 5，∠BCD = 30°，求 AC 的长.

分析：AC 在 Rt△ADC 中，已知 CD 的长，则应先求 AD 的长. 又 AD + DB = 5，转化为求 BD 的长. 在含 30°角的 Rt△BDC 中，已知一边的长可求另两边的长. 可设 BD = x，则 BC = 2x，在 Rt△BDC 中，有 BC² = BD² + CD²，可求 BD，从而求出 AD 的长，再在 Rt△ADC 中求 AC 的长. 几何图形中运用勾股定理列方程求解，是数形结合的应用，而直角三角形的公共边往往是列方程的关键.
解：∵CD⊥AB，垂足为 D，∠BCD = 30°，∴BD = $\frac{1}{2}$BC.
设 BD = x，则 BC = 2x.
在 Rt△BDC 中，由勾股定理得 BD² + CD² = BC²，
即 x² + (2√3)² = (2x)²，解得 x = 2 或 x = -2（舍去）.
∴BD = 2.
∵AB = 5，∴AD = 3.
在 Rt△ADC 中，由勾股定理得 AC² = AD² + CD² = 3² + (2√3)² = 21，∴AC = √21.

解：
∵CD⊥AB，∠BCD = 30°，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC.
设BD = x，则BC = 2x.
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BD^2 + CD^2 = BC^2$，
即$x^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2x)^2$，
解得$x = 2$（$x = -2$舍去），
∴BD = 2.
∵AB = 5，
∴AD = AB - BD = 5 - 2 = 3.
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 21$，
∴AC = $\sqrt{21}$.