1. 已知 $ x - 5y = 0 $，则 $ \frac{3x + 9y}{x - y} = $.

6

由$x - 5y = 0$得$x = 5y$，将$x = 5y$代入分式：
分子：$3x + 9y = 3×5y + 9y = 15y + 9y = 24y$，
分母：$x - y = 5y - y = 4y$，
则$\frac{3x + 9y}{x - y} = \frac{24y}{4y} = 6$（$y≠0$）。

2. 代数式 $ a^{2} - 2ab + b^{2} $ 除以 $ a - b $ 的商式是.

$a - b$

1. 利用完全平方公式对被除式因式分解：$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$；
2. 进行整式除法运算：$(a - b)^2÷(a - b)=a - b$（$a≠ b$）。

3. 若 $ x - \frac{1}{x} = 3 $，则 $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = $.

11

已知$x - \frac{1}{x} = 3$，将等式两边平方：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开左边：$x^2 - 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9$
移项计算：$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11$

4. 计算：
(1) $ (x^{2} - 49) ÷ (x - 7) $.
(2) $ [(m + n)^{2} - 4(m - n)^{2}] ÷ (3n - m) $.
(3) $ (3x^{2} - 6xy + x) ÷ (3x - 6y + 1) $.
(4) $ [(a - 2b)^{2} - 4(a - 2b) + 4] ÷ (a - 2b - 2) $.

解：
(1) $(x^{2} - 49) ÷ (x - 7)$
$=(x+7)(x-7)÷(x-7)$
$=x+7$
(2) $[(m + n)^{2} - 4(m - n)^{2}] ÷ (3n - m)$
$=[(m+n)+2(m-n)][(m+n)-2(m-n)]÷(3n - m)$
$=(3m - n)(3n - m)÷(3n - m)$
$=3m - n$
(3) $(3x^{2} - 6xy + x) ÷ (3x - 6y + 1)$
$=x(3x - 6y + 1)÷(3x - 6y + 1)$
$=x$
(4) $[(a - 2b)^{2} - 4(a - 2b) + 4] ÷ (a - 2b - 2)$
$=[(a-2b)-2]^{2}÷(a - 2b - 2)$
$=(a-2b-2)^{2}÷(a - 2b - 2)$
$=a-2b-2$

5. 先化简，再求值：
$ (x^{2} - y^{2}) ÷ (x + y) + (x^{2} - 2xy + y^{2}) ÷ (x - y) $，其中 $ x = 1 $，$ y = -1 $.

解：
原式 = [(x + y)(x - y)] ÷ (x + y) + [(x - y)²] ÷ (x - y)
= (x - y) + (x - y)
= 2x - 2y
当x = 1，y = -1时，
原式 = 2×1 - 2×(-1)
= 2 + 2
= 4