12. 在$△ABC$中,$AC=BC,∠ACB=90^{\circ }$,D 是 AB 的中点,E 是边 AB 上一点。如图所示,直线$BF⊥CE$于点 F,交 CD 于点 G,试说明:$AE=CG$。

12. 解:因为 D 是 AB 的中点,所以 AD=BD。
在△ACD 和△BCD 中,{AC=BC,AD=BD,CD=CD,
所以△ACD≌△BCD,
所以∠ADC=∠BDC,∠ACD=∠BCD,∠CAD=∠CBD。
又因为∠ADC+∠BDC=180°,
所以∠ADC=∠BDC=90°。
所以 CD⊥AB。
又因为∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,
所以∠ACD=∠BCD=45°,
所以∠CAD=∠CBD=45°,
所以∠CAE=∠BCG。
又因为 BF⊥CE,
所以∠CBG+∠BCF=90°。
又因为∠ACE+∠BCF=90°,
所以∠ACE=∠CBG。
在△AEC 和△CGB 中,{∠CAE=∠BCG,AC=CB,∠ACE=∠CBG,
所以△AEC≌△CGB(ASA),
所以 AE=CG。

13. 【综合与实践】在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AC=BC$,直线 MN 经过点 C,且$AD⊥MN$于点 D,$BE⊥MN$于点 E。
(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到如图①所示的位置时,试说明:①$△ADC≌△CEB$;②$DE=AD+BE$。
(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到如图②所示的位置时,试说明:$DE=AD-BE$。
(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到如图③所示的位置时,试问 DE,AD,BE 具有怎样的等量关系? 请写出这个等量关系,并说明理由。

13. 解:(1)①因为∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°,
所以∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
所以∠CAD=∠BCE。
因为 AC=BC,所以△ADC≌△CEB。
②因为△ADC≌△CEB,
所以 AD=CE,CD=BE,
所以 DE=CE+CD=AD+BE。
(2)因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCE=90°,∠CBE+∠BCE=90°,
所以∠ACD=∠CBE。
因为 AC=BC,所以△ADC≌△CEB,
所以 AD=CE,CD=BE,
所以 DE=CE−CD=AD−BE。
(3)当 MN 旋转到如题图③所示的位置时,AD,DE,BE 所满足的等量关系是 DE=BE−AD。理由如下:
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCE=90°,∠CBE+∠BCE=90°,
所以∠ACD=∠CBE。
因为 AC=BC,所以△ADC≌△CEB,
所以 AD=CE,CD=BE,
所以 DE=CD−CE=BE−AD。